Para as hipérboles dadas, encontre vértices, focos e assíntotas:
Passo 1
O enunciado dá a equação da hipérbole
e pede que eu encontre os vértices, os focos e as assíntotas dessa hipérbole. As informações relevantes que temos explicitamente são apenas a equação dada e que se trata de uma cônica do tipo hipérbole.
Passo 2
Colocar a equação na forma padrão de uma hipérbole facilita a leitura dos parâmetros. Vou dividir ambos os lados da equação por
para deixar em forma com
à direita:
Agora simplifico os coeficientes:
Essa é a forma padrão clássica de uma hipérbole com centro na origem.
Passo 3
Interpretando a forma padrão: uma hipérbole com equação
tem a sua “transversal” ao longo do eixo
(paralelo ao eixo das abscissas). Comparando com a nossa equação identifico
Explico o que são
e
:
é o semi-eixo real (meio do eixo transversal), isto é a distância do centro até cada vértice ao longo do eixo
;
está relacionado à “abertura” na direção perpendicular e aparece nas equações das assíntotas.
Passo 4
Calculo
e
explicitamente:
Lembre-se: usamos as raízes positivas para
e
.
Passo 5
Vértices: para a hipérbole na forma
com centro em
e eixo transversal no eixo
, os vértices são
. Substituindo
obtenho:
Explicação rápida: vértices são os pontos mais próximos do centro ao longo do eixo transversal; aqui é simples porque o centro é a origem.
Passo 6
Focos: na hipérbole com este alinhamento os focos ficam em
, onde
satisfaz a relação
Breve justificativa dessa fórmula: para uma hipérbole a soma dos quadrados dos semi-eixos
e
dá o quadrado da distância focal
. Essa relação aparece ao derivar a equação canônica a partir da definição geométrica com distâncias aos focos; portanto uso-a diretamente.
Passo 7
Calculo
:
Logo os focos são
Passo 8
Assíntotas: para a hipérbole na forma
as assíntotas são as retas que a curva aproxima quando
e
ficam grandes. Um método prático para obtê-las é anular o termo constante à direita (o
), ou seja considerar
que corresponde ao par de retas
Outra forma equivalente é dividir a equação original por
e fazer
, mas o resultado é o mesmo.
Passo 9
Aplicando com os valores que já tenho
e
, a inclinação das assíntotas é
. Assim as assíntotas são as retas
Passo 10
Resumo dos resultados (vou colocá-los de forma direta para você conferir rápido).
Resposta
Vértices:
e
Focos: e
Assíntotas: e
Focos:
Assíntotas: