Para as hipérboles dadas, encontre vértices, focos e assíntotas:
4 x^{2}-y^{2}=16

Passo 1

O enunciado dá a equação da hipérbole
4x^{2}-y^{2}=16
e pede que eu encontre os vértices, os focos e as assíntotas dessa hipérbole. As informações relevantes que temos explicitamente são apenas a equação dada e que se trata de uma cônica do tipo hipérbole.

Passo 2

Colocar a equação na forma padrão de uma hipérbole facilita a leitura dos parâmetros. Vou dividir ambos os lados da equação por 16 para deixar em forma com 1 à direita:
\frac{4x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{16} = 1
Agora simplifico os coeficientes:
\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{16} = 1.
Essa é a forma padrão clássica de uma hipérbole com centro na origem.

Passo 3

Interpretando a forma padrão: uma hipérbole com equação
\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1
tem a sua “transversal” ao longo do eixo x (paralelo ao eixo das abscissas). Comparando com a nossa equação identifico
a^{2}=4,\qquad b^{2}=16.
Explico o que são a e b: a é o semi-eixo real (meio do eixo transversal), isto é a distância do centro até cada vértice ao longo do eixo x; b está relacionado à “abertura” na direção perpendicular e aparece nas equações das assíntotas.

Passo 4

Calculo a e b explicitamente:
a=\sqrt{a^{2}}=\sqrt{4}=2, \qquad b=\sqrt{b^{2}}=\sqrt{16}=4.
Lembre-se: usamos as raízes positivas para a e b.

Passo 5

Vértices: para a hipérbole na forma \dfrac{x^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1 com centro em (0,0) e eixo transversal no eixo x, os vértices são (\pm a,0). Substituindo a=2 obtenho:
\text{vértices: }(\,2,0\,)\quad\text{e}\quad(\,-2,0\,).é
Explicação rápida: vértices são os pontos mais próximos do centro ao longo do eixo transversal; aqui é simples porque o centro é a origem.

Passo 6

Focos: na hipérbole com este alinhamento os focos ficam em (\pm c,0), onde c satisfaz a relação
c^{2}=a^{2}+b^{2}.
Breve justificativa dessa fórmula: para uma hipérbole a soma dos quadrados dos semi-eixos a e b dá o quadrado da distância focal c. Essa relação aparece ao derivar a equação canônica a partir da definição geométrica com distâncias aos focos; portanto uso-a diretamente.

Passo 7

Calculo c:
c^{2}=a^{2}+b^{2}=4+16=20, \qquad c=\sqrt{20}=2\sqrt{5}.
Logo os focos são
(\,2\sqrt{5},0\,)\quad\text{e}\quad(\,-2\sqrt{5},0\,).

Passo 8

Assíntotas: para a hipérbole na forma \dfrac{x^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1 as assíntotas são as retas que a curva aproxima quando |x| e |y| ficam grandes. Um método prático para obtê-las é anular o termo constante à direita (o 1), ou seja considerar
\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=0,
que corresponde ao par de retas
y=\pm\frac{b}{a}\,x.
Outra forma equivalente é dividir a equação original por x^{2} e fazer |x|\to\infty, mas o resultado é o mesmo.

Passo 9

Aplicando com os valores que já tenho a=2 e b=4, a inclinação das assíntotas é \pm \dfrac{b}{a}=\pm \dfrac{4}{2}=\pm 2. Assim as assíntotas são as retas
y=2x\quad\text{e}\quad y=-2x.

Passo 10

Resumo dos resultados (vou colocá-los de forma direta para você conferir rápido).

Resposta

Vértices: (\,2,0\,) e (\,-2,0\,)
Focos: (\,2\sqrt{5},0\,) e (\,-2\sqrt{5},0\,)
Assíntotas: y=2x e y=-2x

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