Cônicas e Quádricas
Determine a natureza da cônica
x^2+y^2-4 x-8 y-24=0

Passo 1

O enunciado pede para a gente descobrir a natureza da cônica dada por
x^2+y^2-4x-8y-24=0
Isso envolve classificação de cônicas via coeficientes na forma geral e, se for necessário, completar quadrados para identificar centro e raio.

Passo 2

Na forma geral de uma cônica de segundo grau Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0, calculamos o discriminante
De
Aqui temos A=1, B=0, C=1, logo
De
Como A=C e De, isso caracteriza um círculo.

Passo 3

Para encontrar o centro e o raio, completamos quadrados em x e y:
Agrupando termos de x e y:
x^2-4x + y^2-8y = 24
Adicionamos os termos necessários para formar quadrados perfeitos: somamos 4 (que é (tfrac-42)^2) e 16 (que é (tfrac-82)^2) em ambos os lados:
x^2 - 4x + 4 + y^2 - 8y + 16 = 24 + 4 + 16 = 44

Passo 4

Reconhecendo quadrados perfeitos:
(x-2)^2 + (y-4)^2 = 44
Isso mostra que a cônica é um círculo de centro (2,4) e raio
r = raiz44 = 2raiz11

Resposta

Círculo de centro (2,4) e raio 2raiz11.

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