Calcule a integral definida, usando a substituição dos limites de integração.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral definida:
. O que a gente vai usar aqui é a técnica de substituição, que ajuda a simplificar integrais complicadas. Vamos precisar conhecer um pouco de cálculo de integrais e como fazer substituições que facilitam a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão dentro da raiz. Vamos definir
. Isso vai nos ajudar a simplificar a parte da raiz quadrada.
Passo 3
Agora, diferenciamos
em relação a
para encontrar
. Temos:
Isso nos permite reescrever o
na integral original.
Passo 4
Vamos substituir
e
na integral:
Precisamos agora expressar
em termos de
.
Passo 5
Da substituição inicial
, podemos resolver para
:
Então,
.
Passo 6
Substituindo
na integral:
Agora, vamos simplificar a integral.
Passo 7
Para resolver essa integral, podemos tentar outra substituição ou reconhecer uma forma padrão. Vamos usar a substituição
, então
e
.
Passo 8
Substituindo na integral:
Agora, essa integral é mais simples e podemos resolvê-la usando uma fórmula padrão.
Passo 9
Sabemos que:
Aqui,
, então
.
Passo 10
Aplicando a fórmula:
Voltando às variáveis originais, onde
:
Passo 11
Substituindo de volta:
Resposta
A integral definida é: