Calcule a integral definida, usando a substituição dos limites de integração.
integral2^4 d xx^2 raizx^2-4

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral definida: integral2^4 dxx^2 raizx^2-4. O que a gente vai usar aqui é a técnica de substituição, que ajuda a simplificar integrais complicadas. Vamos precisar conhecer um pouco de cálculo de integrais e como fazer substituições que facilitam a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão dentro da raiz. Vamos definir u = x^2 - 4. Isso vai nos ajudar a simplificar a parte da raiz quadrada.

Passo 3

Agora, diferenciamos u em relação a x para encontrar du. Temos:
du = 2x , dx Rightarrow dx = du2x
Isso nos permite reescrever o dx na integral original.

Passo 4

Vamos substituir u e dx na integral:
integral dxx^2 raizx^2-4 = integral du2xx^2 raizu = integral du2x^3 raizu
Precisamos agora expressar x em termos de u.

Passo 5

Da substituição inicial u = x^2 - 4, podemos resolver para x^2:
x^2 = u + 4 Rightarrow x = raizu + 4
Então, x^3 = (raizu + 4)^3 = (u + 4)^3/2.

Passo 6

Substituindo x^3 na integral:
integral du2(u + 4)^3/2 raizu = 12 integral duu^1/2 (u + 4)^3/2
Agora, vamos simplificar a integral.

Passo 7

Para resolver essa integral, podemos tentar outra substituição ou reconhecer uma forma padrão. Vamos usar a substituição t = raizu, então u = t^2 e du = 2t , dt.

Passo 8

Substituindo na integral:
12 integral 2t , dtt (t^2 + 4)^3/2 = integral dt(t^2 + 4)^3/2
Agora, essa integral é mais simples e podemos resolvê-la usando uma fórmula padrão.

Passo 9

Sabemos que:
Aqui, integral dt(t^2 + a^2)^3/2 = ta^2 raizt^2 + a^2 + C , então a^2 = 4.

Passo 10

Aplicando a fórmula:
Voltando às variáveis originais, onde integral dt(t^2 + 4)^3/2 = t4 raizt^2 + 4 + C :

Passo 11

Substituindo de volta:
raizx^2 - 44 raiz(raizx^2 - 4)^2 + 4 = raizx^2 - 44 raizx^2 = raizx^2 - 44x

Resposta

A integral definida é:
integral2^4 dxx^2 raizx^2-4 = [ raizx^2 - 44x ]2^4 = raiz16 - 416 - raiz4 - 48 = raiz1216 - 0 = 3raiz316

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