Integrais Impróprias
Encontre o valor de integral1^3 x^2x^2-2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria integral1^3 x^2x^2-2,dx. Aqui o conteúdo é integrals impróprias com descontinuidade no integrando, e vamos precisar usar limites para tratar a descontinuidade em x=raiz2 e também decompor a função em frações mais simples.

Passo 2

Primeiro, identificamos que o denominador x^2-2=0 em x=pmraiz2. Como o intervalo de integração [1,3] contém x=raiz2, a integral é imprópria. Então escrevemos
integral1^3 x^2x^2-2,dx = limatoraiz2^-integral1^a x^2x^2-2,dx , + , limbtoraiz2^+integralb^3 x^2x^2-2,dx

Passo 3

Para facilitar a integração, fazemos a divisão algébrica:
x^2x^2-2 = 1 + 2x^2-2

Passo 4

Logo,
integral x^2x^2-2,dx = integral 1,dx + 2integral 1x^2-2,dx = x + 2integral 1x^2-2,dx

Passo 5

Agora calculamos integral 1x^2-2,dx por frações parciais. Como x^2-2=(x-raiz2)(x+raiz2), temos
1x^2-2 = 12raiz2l(1x-raiz2 - 1x+raiz2r)

Passo 6

Integrando,
integral 1x^2-2,dx = 12raiz2lnl|x-raiz2x+raiz2r| + C

Passo 7

Portanto a primitiva completa é
F(x) = x + 1raiz2lnl|x-raiz2x+raiz2r| + C

Passo 8

Avaliamo-la nos limites e somamos as duas partes. Fazendo as contas de forma detalhada (tomando cuidado com os sinais ao atravessar a descontinuidade) chega-se a
integral1^3 x^2x^2-2,dx = 2 + 1raiz2ln!l(9+4raiz27r)

Resposta

2 + 1raiz2ln!l(tfrac9+4raiz27r)

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