Cônicas e Quádricas
Determine a natureza da cônica
x^2-y^2-4 x-8 y-24=0

Passo 1

Temos a cônica dada por x² − y² − 4x − 8y − 24 = 0. O conteúdo aqui é classificação de cônicas e vamos precisar usar o discriminante e completar quadrados para chegar à forma canônica.

Passo 2

Primeiro, identificamos os coeficientes da forma geral Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0: A = 1, B = 0, C = −1. O discriminante é Δ = B² − 4AC. Substituindo,
Δ = 0² - 4 cdot 1 cdot (-1) = 4 > 0²

Passo 3

Como Δ > 0, a cônica é uma hipérbole.

Passo 4

Agora vamos completar quadrados para ver a forma canônica. Agrupamos x e y separadamente:
x^2 - 4x - (y^2 + 8y) - 24 = 0

Passo 5

Completando o quadrado em x:
x^2 - 4x = (x - 2)^2 - 4,
e em y:
y^2 + 8y = (y + 4)^2 - 16

Passo 6

Substituindo de volta:
(x - 2)^2 - 4 - l((y + 4)^2 - 16r) - 24 = 0,
(x - 2)^2 - (y + 4)^2 - 4 + 16 - 24 = 0,
(x - 2)^2 - (y + 4)^2 - 12 = 0,
logo,
(x - 2)^2 - (y + 4)^2 = 12

Passo 7

Dividindo ambos os lados por 12 para obter a forma padrão:
(x - 2)^212 - (y + 4)^212 = 1

Resposta

É uma hipérbole central, de centro em (2, −4), dada na forma padrão por (x - 2)^212 - (y + 4)^212 = 1.

Exercícios relacionados