Cônicas e Quádricas
Determine a natureza da cônica
Determine a natureza da cônica
Passo 1
Temos a cônica dada por x² − y² − 4x − 8y − 24 = 0. O conteúdo aqui é classificação de cônicas e vamos precisar usar o discriminante e completar quadrados para chegar à forma canônica.
Passo 2
Primeiro, identificamos os coeficientes da forma geral Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0: A = 1, B = 0, C = −1. O discriminante é Δ = B² − 4AC. Substituindo,
Passo 3
Como Δ > 0, a cônica é uma hipérbole.
Passo 4
Agora vamos completar quadrados para ver a forma canônica. Agrupamos x e y separadamente:
Passo 5
Completando o quadrado em x:
e em y:
Passo 6
Substituindo de volta:
logo,
Passo 7
Dividindo ambos os lados por 12 para obter a forma padrão:
Resposta
É uma hipérbole central, de centro em (2, −4), dada na forma padrão por
.