Funcós de Várias Variáveis
Determine o dominio da funçaō
Determine o dominio da funçaō
Passo 1
A questão apresenta a função de duas variáveis
f(x,y)=ln(3x−y)+√(x+y)
Precisamos determinar onde essa função está bem definida. O conteúdo aqui envolve domínio de funções compostas: logarithmo natural e raiz quadrada. Para resolver, vamos impor as condições que garantem que o argumento do ln seja estritamente positivo e o da raiz maior ou igual a zero.
f(x,y)=ln(3x−y)+√(x+y)
Precisamos determinar onde essa função está bem definida. O conteúdo aqui envolve domínio de funções compostas: logarithmo natural e raiz quadrada. Para resolver, vamos impor as condições que garantem que o argumento do ln seja estritamente positivo e o da raiz maior ou igual a zero.
Passo 2
Para que o ln esteja definido, precisamos de
Isto vem da propriedade de que ln(u) só existe para u>0. Logo obtemos a primeira desigualdade: y<3x.
Passo 3
Para que a raiz quadrada esteja definida (no conjunto dos números reais), precisamos de
Isto porque √(v) exige v≥0. Portanto, extraímos a segunda desigualdade: y≥−x.
Passo 4
O domínio da função é a interseção das duas regiões obtidas: a região abaixo da reta y=3x (não incluindo a reta) e acima da reta y=−x (incluindo a reta). Em notação de conjuntos:
$$
D={(x,y)\in\mathbb R^2:,-x\le y<3x}$$
Resposta
O domínio é D = { (x,y) ∈ ℝ² : −x ≤ y < 3x }.