Funcós de Várias Variáveis
Determine o dominio da funçaō
f(x, y)=ln (3 x-y)+raizx+y

Passo 1

A questão apresenta a função de duas variáveis
f(x,y)=ln(3x−y)+√(x+y)
Precisamos determinar onde essa função está bem definida. O conteúdo aqui envolve domínio de funções compostas: logarithmo natural e raiz quadrada. Para resolver, vamos impor as condições que garantem que o argumento do ln seja estritamente positivo e o da raiz maior ou igual a zero.

Passo 2

Para que o ln esteja definido, precisamos de
3x−y>0
Isto vem da propriedade de que ln(u) só existe para u>0. Logo obtemos a primeira desigualdade: y<3x.

Passo 3

Para que a raiz quadrada esteja definida (no conjunto dos números reais), precisamos de
x+y>=0
Isto porque √(v) exige v≥0. Portanto, extraímos a segunda desigualdade: y≥−x.

Passo 4

O domínio da função é a interseção das duas regiões obtidas: a região abaixo da reta y=3x (não incluindo a reta) e acima da reta y=−x (incluindo a reta). Em notação de conjuntos:
$$
D={(x,y)\in\mathbb R^2:,-x\le y<3x}$$

Resposta

O domínio é D = { (x,y) ∈ ℝ² : −x ≤ y < 3x }.

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