Cônicas e Quádricas
Determine a natureza da cônica
2 x^2-4 y^2-4 x-8 y-24=0

Passo 1

Enunciado resumido: Temos a cônica dada por
2x^2-4y^2-4x-8y-24=0
O conteúdo é cônicas (mais precisamente identificação de tipo de cônica). Vamos precisar completar quadrados para colocar na forma canônica e então identificar se é elipse, hipérbole, parábola, etc.

Passo 2

Primeiro passo de resolução: divido toda a equação por 2 para simplificar coeficientes. Obtemos
x^2-2y^2-2x-4y-12=0 Agrupo termos em x e y:
l(x^2-2xr) -2l(y^2+2yr) -12=0

Passo 3

Segundo passo: completo o quadrado em x e y.
Para x^2-2x:
x^2-2x = (x-1)^2-1
Para y^2+2y:
$$y^{2}+2y = (y+1)^{2}-1.
$$Logo,
y^2+2y = (y+1)^2-1

Passo 4

Terceiro passo: substituo de volta na equação:
(x-1)^2-1 ;+ l(-2(y+1)^2+2r) -12 = 0
Isso dá
(x-1)^2-2(y+1)^2 -1+2-12 =0
(x-1)^2-2(y+1)^2-11=0
ou
(x-1)^2-2(y+1)^2=11

Passo 5

Quarto passo: divido ambos os lados por 11 para colocar na forma padrão de hipérbole:
$$\frac{(x-1)^{2}}{11} - \frac{(y+1)^{2}}{11/2} = 1.
$$
Essa é a forma canônica de uma hipérbole com centro em (x-1)^211 - (y+1)^211/2 = 1 , eixo transverso paralelo ao eixo (1,-1) e semi-eixos x, a=raiz11.

Resposta

Trata-se de uma hipérbole com centro em (1, -1) e eixos principais alinhados aos eixos coordenados.

Exercícios relacionados