Para as funções abaixo. Suponha que a função é estendida (par ou ímpar), periodicamente, para fora do intervalo dado. Então
(a) encontre a série de Fourier da função estendida.
(b) encontre alguma série convergente.
(a) encontre a série de Fourier da função estendida.
(b) encontre alguma série convergente.
Passo 1
O enunciado pede para estender periodicamente a função dada em [-L,L] e obter sua série de Fourier. O conteúdo é séries de Fourier em intervalo simétrico, usando extensão par (pois f(–x)=f(x)), o que faz com que apenas coeficientes a₀ e a_n sejam não nulos. Vamos precisar das fórmulas padrões para a₀ e a_n em uma série de Fourier em [-L,L].
Passo 2
Como a função é par, todos os coeficientes b_n se anulam. Isto simplifica a série para f(x)=a₀/2 + ∑_{n=1}^∞ a_n cos(nπx/L).
Passo 3
Calculamos primeiro a₀:
Fazendo a integral:
Logo
Passo 4
Agora obtemos a_n:
Fazendo integração por partes e simplificando, chega-se a
Isso dá a_n=0 para n par e a_{2k-1}=4L/\bigl((2k-1)2\pi2\bigr).
Passo 5
Portanto a série de Fourier fica
Passo 6
Para obter uma série convergente notável, avaliamos em x=0, onde f(0)=L. Na série, cos(…) =1 em x=0, fica
Isolando a soma:
Resposta
(a)
(b) Uma série convergente obtida é
(b) Uma série convergente obtida é