Para as funções abaixo. Suponha que a função é estendida (par ou ímpar), periodicamente, para fora do intervalo dado. Então
(a) encontre a série de Fourier da função estendida.
(b) encontre alguma série convergente.
f(x)=ccL+x, & -L <= x<0 L-x, & 0 <= x

Passo 1

O enunciado pede para estender periodicamente a função dada em [-L,L] e obter sua série de Fourier. O conteúdo é séries de Fourier em intervalo simétrico, usando extensão par (pois f(–x)=f(x)), o que faz com que apenas coeficientes a₀ e a_n sejam não nulos. Vamos precisar das fórmulas padrões para a₀ e a_n em uma série de Fourier em [-L,L].

Passo 2

Como a função é par, todos os coeficientes b_n se anulam. Isto simplifica a série para f(x)=a₀/2 + ∑_{n=1}^∞ a_n cos(nπx/L).

Passo 3

Calculamos primeiro a₀:
a0 = 1L integral-L^L f(x),dx = 2Lintegral0^L(L - x),dx
Fazendo a integral:
integral0^L(L - x),dx = l[Lx - tfracx^22r]0^L = L^22
Logo
a0 = 2Lcdot L^22 = L

Passo 4

Agora obtemos a_n:
an = 1Lintegral-L^L f(x)cosl(tfracnpi xLr),dx = 2Lintegral0^L(L - x)cosl(tfracnpi xLr),dx
Fazendo integração por partes e simplificando, chega-se a
an = 2Ln^2pi^2l(1 - (-1)^nr)
Isso dá a_n=0 para n par e a_{2k-1}=4L/\bigl((2k-1)2\pi2\bigr).

Passo 5

Portanto a série de Fourier fica
f(x)=L2 + sumk=1^infty 4L(2k-1)^2pi^2,cosl((2k-1)pi xLr)

Passo 6

Para obter uma série convergente notável, avaliamos em x=0, onde f(0)=L. Na série, cos(…) =1 em x=0, fica
L = L2 + sumk=1^infty 4L(2k-1)^2pi^2
Isolando a soma:
sumk=1^infty 1(2k-1)^2 = pi^28

Resposta

(a) f(x)=L2+sumk=1^infty4L(2k-1)^2pi^2cosl((2k-1)pi xLr)
(b) Uma série convergente obtida é
sumk=1^infty1(2k-1)^2=pi^28

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