Conisdere a função f(x)=raizr^2-x^2, onde r é uma constante positiva. Seja R a região delimitada pela curva y=f(x) e o eixo x. O objetivo deste exercício é calcular a área de R.
a) Explique por que a área de R é igual a integral-r^r f(x) d x.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a função f(x)=raizr^2-x^2, com r>0. A região R é limitada pelo gráfico de y=f(x) e pelo eixo x entre os pontos onde f(x)=0, isto é, de x=-r a x=r. Para calcular a área de R precisamos usar o conceito de integral definida como área sob a curva.

Passo 2

O que precisamos usar é a definição de área sob o gráfico de uma função contínua e não negativa. Pela construção das somas de Riemann, a área de uma região sob y=f(x) de x=a a x=b é dada pelo limite das somas de retângulos, que coincide com a integral definida
integrala^b f(x),dx

Passo 3

No nosso caso, a função f(x)=raizr^2-x^2 é contínua e não negativa em [-r,r]. Logo, a área de R entre x=-r e x=r é exatamente a integral definida de f(x) nesse intervalo.

Resposta

[\n\text{Área}® = \int_{-r}^{r} f(x)\,dx.\n]

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