Conisdere a função
, onde r é uma constante positiva. Seja
a região delimitada pela curva
e o eixo
. O objetivo deste exercício é calcular a área de
.
a) Explique por que a área de
é igual a
.
a) Explique por que a área de
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos a função
, com
. A região
é limitada pelo gráfico de
e pelo eixo
entre os pontos onde
, isto é, de
a
. Para calcular a área de
precisamos usar o conceito de integral definida como área sob a curva.
Passo 2
O que precisamos usar é a definição de área sob o gráfico de uma função contínua e não negativa. Pela construção das somas de Riemann, a área de uma região sob
de
a
é dada pelo limite das somas de retângulos, que coincide com a integral definida
Passo 3
No nosso caso, a função
é contínua e não negativa em
. Logo, a área de
entre
e
é exatamente a integral definida de
nesse intervalo.
Resposta
[\n\text{Área}® = \int_{-r}^{r} f(x)\,dx.\n]