Conisdere a função
, onde r é uma constante positiva. Seja
a região delimitada pela curva
e o eixo
. O objetivo deste exercício é calcular a área de
.
c) Calcule a área de R. (Dica: use a identidade trigonométrica
).
c) Calcule a área de R. (Dica: use a identidade trigonométrica
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função $ f(x) = \sqrt{r^{2} - x^{2}} $, que representa a parte de cima de um círculo com raio $ r $. A região $ R $ é o espaço limitado por essa curva e pelo eixo $ x $. Nosso objetivo é calcular a área dessa região usando cálculo e trigonometria.
Passo 2
Para encontrar a área sob a curva $ f(x) $ entre $ x = -r $ e $ x = r $, vamos montar uma integral definida:
Passo 3
Resolver essa integral diretamente pode ser complicado, então vamos usar uma substituição trigonométrica. Vamos deixar $ x = r \sin \theta $, o que implica que $ dx = r \cos \theta , d\theta $. Substituindo esses valores na integral, temos:
Passo 4
Agora, vamos aplicar a identidade trigonométrica $ \sin^{2}(\theta) + \cos^{2}(\theta) = 1 $. Isso nos ajuda a simplificar a expressão dentro da raiz:
Substituindo de volta na integral:
Passo 5
Para integrar $ \cos^{2} \theta $, usamos outra identidade trigonométrica:
Então, a integral fica:
Calculando isso, temos:
Resposta
A área da região $ R $ é $ \frac{\pi r^{2}}{2} $.