Conisdere a função f(x)=raizr^2-x^2, onde r é uma constante positiva. Seja R a região delimitada pela curva y=f(x) e o eixo x. O objetivo deste exercício é calcular a área de R.
c) Calcule a área de R. (Dica: use a identidade trigonométrica sin ^2(theta)+cos ^2(theta)=1 ).

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função $ f(x) = \sqrt{r^{2} - x^{2}} $, que representa a parte de cima de um círculo com raio $ r $. A região $ R $ é o espaço limitado por essa curva e pelo eixo $ x $. Nosso objetivo é calcular a área dessa região usando cálculo e trigonometria.

Passo 2

Para encontrar a área sob a curva $ f(x) $ entre $ x = -r $ e $ x = r $, vamos montar uma integral definida:
f(x) Á

Passo 3

Resolver essa integral diretamente pode ser complicado, então vamos usar uma substituição trigonométrica. Vamos deixar $ x = r \sin \theta $, o que implica que $ dx = r \cos \theta , d\theta $. Substituindo esses valores na integral, temos:
x = r sin theta Á

Passo 4

Agora, vamos aplicar a identidade trigonométrica $ \sin^{2}(\theta) + \cos^{2}(\theta) = 1 $. Isso nos ajuda a simplificar a expressão dentro da raiz:
sin^2(theta) + cos^2(theta) = 1
Substituindo de volta na integral:
raizr^2 (1 - sin^2 theta) = r cos theta Á

Passo 5

Para integrar $ \cos^{2} \theta $, usamos outra identidade trigonométrica:
cos^2 theta
Então, a integral fica:
cos^2 theta = 1 + cos 2theta2 Á
Calculando isso, temos:
Área = r^2 cdot 12 integral-pi2^pi2 (1 + cos 2theta) , dtheta = r^22 [ theta + sin 2theta2 ]-pi2^pi2

Resposta

A área da região $ R $ é $ \frac{\pi r^{2}}{2} $.

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