Conjecture sobre o limite de cada uma das sequências. Depois, mostre cada um deles pela definição.
lim n infty 2 n^2n^2+5

Passo 1

O enunciado pede o limite da sequência
an = 2,n^2n^2+5
quando ntoinfty e, em seguida, mostrar esse limite usando a definição varepsilon N de limite de sequência.

Passo 2

Observando que, para n muito grande, o termo dominante tanto no numerador quanto no denominador é n^2, conjecturamos que
limntoinftyan = 2

Passo 3

Para provar que limntoinftyan = 2 pela definição, calculemos a diferença em módulo:
l|an - 2r| = |2n^2n^2+5 - 2| = |2n^2 - 2(n^2+5)n^2+5| = 10n^2+5 <= 10n^2

Passo 4

Seja varepsilon>0. Queremos escolher NinN tal que, para todo n>= N, valha
l|an - 2r|<varepsilon
Como
l|an - 2r|<= 10n^2,
basta exigir
10n^2<varepsilon Long<=ftrightarrow n>raiz10varepsilon
Logo, tomando
N = lceil raiz10varepsilonrceil,
garantimos que, para todo n>= N, temos l|an - 2r|<varepsilon, o que conclui a prova pela definição.

Resposta

limntoinfty2,n^2n^2+5 = 2

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