Identifique o sólido E tal que integral triplaE d V=integral0^pi / 3 integral0^2 pi integral0^sec varphi rho^2 sen varphi d rho d theta d varphi e calcule o volume de E.

Passo 1

O enunciado nos dá a integral em coordenadas esféricas
integral0^pi/3!integral0^2pi!integral0^secvarphirho^2sinvarphi,drho,dtheta,dvarphi
e pede que a gente identifique o sólido E descrito por
0<=theta<=2pi, 0<=varphi<=pi3, 0<=rho<=secvarphi,
e calcule o volume de E. O conteúdo é mudança para coordenadas esféricas e interpretação geométrica das desigualdades.

Passo 2

Na notação esférica temos
rho<=secvarphi Long<=ftrightarrow rhocosvarphi<=1 Long<=ftrightarrow z<=1,
pois z=rhocosvarphi. E
varphi<=pi3 Long<=ftrightarrow tanvarphi<=tanpi3=raiz3 Long<=ftrightarrow raizx^2+y^2z<=raiz3 Long<=ftrightarrow x^2+y^2<=3z^2
Também rho>=0 implica z>=0.

Passo 3

Convertendo para coordenadas cartesianas, o sólido E é
E=l(x,y,z)mid x^2+y^2<=3z^2,;0<= z<=1r
Isso descreve um cone circular reto de vértice na origem, eixo no eixo z, abertura tal que tanvarphi=raiz3, cortado pelo plano z=1.

Passo 4

Num cone de vértice na origem com altura h=1 e raio de base r dado por
r=raiz3cdot z|z=1=raiz3,
o volume é
V=13pi r^2h =13pi(raiz3)^2cdot1 =pi

Resposta

O sólido E é o cone
(x,y,z)mid x^2+y^2<=3z^2,;0<= z<=1
e o seu volume é pi.

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