Seja f: R^2 R,(x, y) mapsto 3 x-x^3-3 x y^2 e D=(x, y) in R^2: x^29+y^23 <= 1. Determine os pontos críticos de f em D e na fronteira partial D, classificando-os (máximo, mínimo ou sela).

Passo 1

O enunciado pede para achar os pontos críticos de
f(x,y)=3x - x^3 - 3xy^2
no domínio
D=(x,y)in R^2 mid tfracx^29+tfracy^23<=1,
e também na fronteira partial D, classificando-os em máximo, mínimo ou ponto de sela. Vamos usar gradiente para os críticos internos, Hessiano para a classificação interior, e multiplicadores de Lagrange para os críticos na fronteira.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais
fx=3-3x^2-3y^2, fy=-6xy
Num ponto crítico interno precisamos ter
fx=0, fy=0,
isto é
3(1 - x^2 - y^2)=0Longrightarrow x^2+y^2=1,
-6xy=0Longrightarrow x=0 ou y=0
Se y=0 então x^2=1, dando (1,0) e (-1,0).
Se x=0 então y^2=1, dando (0,1) e (0,-1).
Todos estes satisfazem tfracx^29+tfracy^23<1, logo estão em D.

Passo 3

Para classificar usamos o Hessiano
H= fxx&fxy[6pt] fyx&fyy = -6x & -6y[3pt] -6y & -6x
O determinante é
De<a =(-6x)(-6x)-(-6y)^2=36(x^2-y^2),
e fxx=-6x.
Em (1,0): De<a=36>0 e fxx=-6<0 ⇒ máximo local.
Em (-1,0): De<a=36>0 e fxx=6>0 ⇒ mínimo local.
Em (0,1) e (0,-1): De<a=-36<0 ⇒ pontos de sela.]

Passo 4

Na fronteira usamos o multiplicador lambda para
g(x,y)=x^29+y^23-1=0, nabla f=lambdanabla g
Isto dá o sistema
3-3x^2-3y^2=lambda2x9, -6xy=lambda2y3, x^29+y^23=1
Se y=0, então a fronteira exige x^2/9=1, daí (x,y)=(3,0) ou (-3,0).
Se yneq0, a segunda equação dá lambda=-9x e, substituindo na primeira junto com a fronteira, chega-se a contradição.
Logo os únicos críticos em partial D são (3,0) e (-3,0).

Passo 5

Avaliamos f nesses pontos:
f(3,0)=3cdot3-27=9-27=-18, f(-3,0)=3cdot(-3)-(-27)=-9+27=18
Como em todo o resto de D f assume valores entre -18 e 18, concluímos que
(-3,0) é máximo global (e local na fronteira) e
(3,0) é mínimo global (e local na fronteira).

Resposta

Os pontos críticos em D são
(1,0) máximo local,
(-1,0) mínimo local,
(0,1) e (0,-1) pontos de sela.
Na fronteira partial D há apenas (-3,0) máximo global e (3,0) mínimo global.

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