Seja
e
. Determine os pontos críticos de
em
e na fronteira
, classificando-os (máximo, mínimo ou sela).
Passo 1
O enunciado pede para achar os pontos críticos de
no domínio
e também na fronteira
, classificando-os em máximo, mínimo ou ponto de sela. Vamos usar gradiente para os críticos internos, Hessiano para a classificação interior, e multiplicadores de Lagrange para os críticos na fronteira.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais
Num ponto crítico interno precisamos ter
isto é
Se
então
, dando
e
.
Se então
, dando
e
.
Todos estes satisfazem , logo estão em
.
Se
Todos estes satisfazem
Passo 3
Para classificar usamos o Hessiano
O determinante é
e
.
Em :
e
⇒ máximo local.
Em :
e
⇒ mínimo local.
Em e
:
⇒ pontos de sela.]
Em
Em
Em
Passo 4
Na fronteira usamos o multiplicador
para
Isto dá o sistema
Se
, então a fronteira exige
, daí
ou
.
Se , a segunda equação dá
e, substituindo na primeira junto com a fronteira, chega-se a contradição.
Logo os únicos críticos em são
e
.
Se
Logo os únicos críticos em
Passo 5
Avaliamos
nesses pontos:
Como em todo o resto de
assume valores entre
e
, concluímos que
é máximo global (e local na fronteira) e
é mínimo global (e local na fronteira).
Resposta
Os pontos críticos em
são
máximo local,
mínimo local,
e
pontos de sela.
Na fronteira há apenas
máximo global e
mínimo global.
Na fronteira