Calcule
onde
e
é a superfície descrita por
com
e
.
Passo 1
O enunciado pede o fluxo da campo
através da superfície
dada por
isto é, a “meia-paraboloide” até a altura
. Vamos usar parametrização
,
,
e a fórmula de integral de superfície para gráficos
.
Passo 2
Para uma superfície
orientada pela normal “para cima”, a fórmula do fluxo é
onde
é a projeção no plano
e
,
.
Passo 3
No nosso caso
. Logo
e
Portanto o produto interno no integrando é
Passo 4
A região
no plano
é o semicírculo
O elemento de área é
. Então o integral vira
Passo 5
Passamos a coordenadas polares em
:
e
. O integrando torna-se
Multiplicando por
obtemos
Passo 6
Integramos em
de 0 a 1:
Logo o fluxo é
Calculando
obtemos