Calcule integral duplaS F cdot n d omega onde F=(y, x, x z) e S é a superfície descrita por z=x^2+y^2 com x >= 0 e z <= 1.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo da campo F=(y,x,xz) através da superfície S dada por
z = x^2 + y^2, x>=0,;z<=1,
isto é, a “meia-paraboloide” até a altura z=1. Vamos usar parametrização x=u, y=v, z=u^2+v^2 e a fórmula de integral de superfície para gráficos z=f(x,y).

Passo 2

Para uma superfície z=f(x,y) orientada pela normal “para cima”, a fórmula do fluxo é
integral duplaSFcdot n,domega =integral duplaDF(u,v,f(u,v))cdotl(-fu,-fv,1r),dudv,
onde D é a projeção no plano uv e fu=partial f/partial u, fv=partial f/partial v.

Passo 3

No nosso caso f(u,v)=u^2+v^2. Logo
fu=2u, fv=2v,
e
F(u,v,f(u,v))=(v,;u,;u(u^2+v^2))
Portanto o produto interno no integrando é
l(v,u,u(u^2+v^2)r)cdot(-2u,-2v,1) =-2uv-2uv+u(u^2+v^2) =ul(u^2+v^2r)-4uv

Passo 4

A região D no plano uv é o semicírculo
u^2+v^2<=1, u>=0
O elemento de área é dudv. Então o integral vira
integral duplaDl[u(u^2+v^2)-4uvr],dudv

Passo 5

Passamos a coordenadas polares em D:
u=rcostheta, v=rsintheta, 0<= r<=1,;-tfracpi2<=theta<=tfracpi2,
e dudv=r,dr,dtheta. O integrando torna-se
u(u^2+v^2)-4uv =rcostheta,(r^2)-4(rcostheta)(rsintheta) =r^3costheta-4r^2costhetasintheta
Multiplicando por r,dr,dtheta obtemos
l(r^4costheta-4r^3costhetasinthetar)dr,dtheta

Passo 6

Integramos em r de 0 a 1:
integral0^1r^4,dr=tfrac15, integral0^1r^3,dr=tfrac14
Logo o fluxo é
integral-pi/2^pi/2l(tfrac15costheta-4cdottfrac14costhetasinthetar)dtheta =integral-pi/2^pi/2l(tfrac15costheta-costhetasinthetar)dtheta
Calculando
integral-pi/2^pi/2costheta,dtheta=2, integral-pi/2^pi/2costhetasintheta,dtheta =l[tfrac12sin^2thetar]-pi/2^pi/2=0,
obtemos
tfrac15cdot2-0 = tfrac25

Resposta

integral duplaSFcdot n,domega =25

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