Conjecture sobre o limite de cada uma das sequências. Depois, mostre cada um deles pela definição.
lim n infty 3 n raiznn raizn+5

Passo 1

O enunciado pede para conjecturar o valor de
limntoinftyan, an=3nraiznnraizn+5,
e em seguida provar esse limite usando a definição formal ( varepsilon N). O conteúdo aqui é limite de sequência e prova por definição.

Passo 2

Para conjecturar o limite, dividimos numerador e denominador por nraizn:
an=3nraiznnraizn+5 =31+5nraizn
e como tfrac5nraiznto0 quando ntoinfty, a conjectura é
limntoinftyan=3

Passo 3

Agora vamos provar que limntoinftyan=3 pela definição. Calculemos
l|an-3r| =|3nraiznnraizn+5-3| =|3nraizn-3(nraizn+5)nraizn+5| =15nraizn+5

Passo 4

Dado varepsilon>0, queremos tfrac15nraizn+5<varepsilon. Como nraizn+5>nraizn, basta ter
15nraizn<varepsilon Long<=ftrightarrow n^3/2>15varepsilon Long<=ftrightarrow n>l(15varepsilonr)^2/3
Logo, basta escolher
N=llceill(15/varepsilonr)^2/3rrceil
para que, sempre que n>N, valha lvert an-3rvert<varepsilon. Isso completa a prova.

Resposta

limntoinfty3nraiznnraizn+5=3

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