Considere a curva C em coordenadas polares dada por com r(theta)=2+sen^2(2 theta) e 0 <= theta <= 2 pi. Calcular ointC P d x+Q d y, onde P(x, y)=y+xx^2+y^2 e Q(x, y)=y-xx^2+y^2.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do integral de linha fechado
ointC P,dx + Q,dy
onde C é a curva em coordenadas polares
r(theta)=2+sin^2(2theta), 0<=theta<=2pi,
e o campo é
P(x,y)=y+xx^2+y^2, Q(x,y)=y-xx^2+y^2
O conteúdo envolve parametrização em coordenadas polares e simplificação de P,dx+Q,dy.

Passo 2

Parametrizamos C por
x=r(theta)costheta, y=r(theta)sintheta,
com
r=r(theta)=2+sin^2(2theta)
Então
dx = drcostheta - rsintheta,dtheta,
dy = drsintheta + rcostheta,dtheta

Passo 3

Substituindo em P,dx+Q,dy e usando x=rcostheta, y=rsintheta, obtém-se após simplificar
P,dx+Q,dy = drr;-;dtheta

Passo 4

Integramos de theta=0 a 2pi:
ointC P,dx+Q,dy =integral0^2pidrr-integral0^2pidtheta =l[ln rr]0^2pi-2pi =ln r(2pi)-ln r(0)-2pi
Como r(0)=2+sin^20=2 e r(2pi)=2+sin^2(4pi)=2, vem
ln r(2pi)-ln r(0)=0,
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ointC P,dx+Q,dy = -2pi

Resposta

-2pi

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