Conjecture sobre o limite de cada uma das sequências. Depois, mostre cada um deles pela definição.
lim n infty nn+1

Passo 1

O enunciado pede para conjecturar o limite da sequência
an = nn+1
quando ntoinfty e depois provar essa convergência usando a definição de limite de sequência. O conteúdo necessário é a definição de limite de sequência: dizemos que limntoinftyan = L se, para todo varepsilon>0, existe NinN tal que, para todo n>= N, |an - L|<varepsilon.

Passo 2

Para ver o valor de forma intuitiva, escrevemos
nn+1 = 1 - 1n+1
À medida que n cresce, 1n+1 vai para zero, logo esperamos que
limntoinftynn+1 = 1

Passo 3

Agora provamos formalmente que limntoinftynn+1=1. Seja varepsilon>0. Queremos escolher N tal que, para todo n>= N,
l|nn+1-1r|<varepsilon
Calculamos
l|nn+1-1r| = l|n-(n+1)n+1r| = 1n+1
Para garantir 1n+1<varepsilon basta exigir
n+1 > 1varepsilon Longrightarrow n > 1varepsilon-1
Escolhemos, por exemplo,
N = lceil 1varepsilon rceil
Então, se n>= N, temos n+1>= N+1>tfrac1varepsilon, e assim
l|nn+1-1r| = 1n+1 < varepsilon
Isso mostra, pela definição, que limntoinftynn+1=1.

Resposta

limntoinftynn+1 = 1

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