Conjecture sobre o limite de cada uma das sequências. Depois, mostre cada um deles pela definição.
Passo 1
O enunciado pede para conjecturar o limite da sequência
quando e depois provar essa convergência usando a definição de limite de sequência. O conteúdo necessário é a definição de limite de sequência: dizemos que se, para todo , existe tal que, para todo , .
Passo 2
Para ver o valor de forma intuitiva, escrevemos
À medida que cresce, vai para zero, logo esperamos que
Passo 3
Agora provamos formalmente que . Seja . Queremos escolher tal que, para todo ,
Calculamos
l|nn+1-1r| = l|n-(n+1)n+1r| = 1n+1
Para garantir 1n+1<varepsilon basta exigir
n+1 > 1varepsilon Longrightarrow n > 1varepsilon-1
Escolhemos, por exemplo,
N = lceil 1varepsilon rceil
Então, se n>= N, temos n+1>= N+1>tfrac1varepsilon, e assim
l|nn+1-1r| = 1n+1 < varepsilon
Isso mostra, pela definição, que limntoinftynn+1=1.