Conjecture sobre o limite de cada uma das sequências. Depois, mostre cada um deles pela definição.
lim n infty sen(n x)n, x in R qualquer.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar
limntoinftysin(n x)n, xinR,
e depois provar esse resultado usando a definição de limite de sequência. O conteúdo principal aqui envolve limites de sequência, a propriedade de que sin é limitada e a definição epsilon-N para sequência.

Passo 2

Percebemos que para todo n e todo x vale
-1<= sin(n x)<= 1
e, portanto,
-1n<= sin(n x)n<= 1n
À medida que ntoinfty, 1/nto0. Pela ideia do teorema do confronto (squeeze theorem), isso sugere a conjectura
limntoinftysin(n x)n=0

Passo 3

Para provar rigorosamente pela definição, lembramos que dizer
limntoinftyan = L
significa que, para todo varepsilon>0, existe um N tal que, para todo n>= N,
l|an - Lr|<varepsilon
Aqui queremos L=0 e an=sin(n x)/n.

Passo 4

Visto que
|sin(n x)n-0|=l|sin(n x)r|n<=1n,
basta escolher N de modo que 1/N<varepsilon, por exemplo
N=lceil 1varepsilonrceil
Então, para todo n>= N, temos
|sin(n x)n|<=1n<=1N<varepsilon
Isso completa a prova pela definição de limite de sequência.

Resposta

limntoinftysin(n x)n=0

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