Conjecture sobre o limite de cada uma das sequências. Depois, mostre cada um deles pela definição. qualquer.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar
e depois provar esse resultado usando a definição de limite de sequência. O conteúdo principal aqui envolve limites de sequência, a propriedade de que é limitada e a definição -N para sequência.
Passo 2
Percebemos que para todo e todo vale
e, portanto,
À medida que , . Pela ideia do teorema do confronto (squeeze theorem), isso sugere a conjectura
Passo 3
Para provar rigorosamente pela definição, lembramos que dizer
significa que, para todo , existe um tal que, para todo ,
Aqui queremos L=0 e an=sin(n x)/n.
Passo 4
Visto que
|sin(n x)n-0|=l|sin(n x)r|n<=1n,
basta escolher N de modo que 1/N<varepsilon, por exemplo
N=lceil 1varepsilonrceil
Então, para todo n>= N, temos
|sin(n x)n|<=1n<=1N<varepsilon
Isso completa a prova pela definição de limite de sequência.