A f.d.p. conjunta de variáveis aleatórias
e
é dada por:
Responda:
© Calcule
.
© Calcule
Passo 1
Beleza, então o que a questão pede é o valor de
ou seja, a esperança condicional de
dado
. O conteúdo aqui é densidade conjunta, densidade marginal, densidade condicional e cálculo de esperança de uma variável contínua. Para resolver isso, a gente vai precisar:
- Encontrar a densidade marginal de
, . - Montar a densidade condicional de
dado , . - Usar a definição de esperança de
em relação a essa densidade condicional.
Passo 2
Primeiro acha a marginal de
:
Vamos integrar:
.
Então
Então
Passo 3
Agora a densidade condicional de
dado
é
Repara que simplificou o
, então
é igual a
, que é justamente a densidade de uma Exp(
).
Passo 4
Para uma variável exponencial com parâmetro
, a esperança é
Aqui
, então
Como isso não depende de
, a gente conclui que