A f.d.p. conjunta de variáveis aleatórias X e Y é dada por:
f(x, y)=6 x e^-3 y 00
Responda:
© Calcule E(Y mid X).

Passo 1

Beleza, então o que a questão pede é o valor de
El(Y mid Xr),
ou seja, a esperança condicional de dado . O conteúdo aqui é densidade conjunta, densidade marginal, densidade condicional e cálculo de esperança de uma variável contínua. Para resolver isso, a gente vai precisar:
  1. Encontrar a densidade marginal de , .
  2. Montar a densidade condicional de dado , .
  3. Usar a definição de esperança de em relação a essa densidade condicional.

Passo 2

Primeiro acha a marginal de fX(x);=;integraly=0^infty f(x,y),dy =integral0^infty6,x,e^-3y,dy :
fX(x)=6,x;times;13=2,x, 0
Vamos integrar:
.
Então

Passo 3

Agora a densidade condicional de fYmid X(ymid x) =f(x,y)fX(x) =6,x,e^-3y2,x =3,e^-3y, y>0 dado é
Repara que simplificou o , então é igual a , que é justamente a densidade de uma Exp( ).

Passo 4

Para uma variável exponencial com parâmetro E(Y)=1lambda , a esperança é
El(Ymid X=xr)=13
Aqui E(Ymid X)=13 , então
Como isso não depende de , a gente conclui que

Resposta

boxedE(Ymid X)=13

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