A f.d.p. conjunta de variáveis aleatórias X e Y é dada por:
f(x, y)=6 x e^-3 y 00
Responda:
(b) Obtenha a f(Y mid X).

Passo 1

Beleza, aqui o que temos: uma f.d.p. conjunta de duas variáveis aleatórias f(x, y) = 6,x,e^-3y, 0 < x < 1,; y>0 e fYmid X(ymid x) = fX,Y(x,y)fX(x), , dada por
O que a gente quer é a densidade condicional .
Matematicamente, vamos usar a definição:
ou seja, precisamos primeiro achar a marginal e depois dividir.

Passo 2

Calcular a marginal de fX(x) = integral-infty^infty fX,Y(x,y),dy , fX(x) = integral0^infty 6,x,e^-3y,dy .
Por definição:
fX(x) = 6x integral0^infty e^-3y,dy
Aqui a integral em integral0^infty e^-3y,dy = 13 vai de fX(x) = 6x cdot 13 = 2x, 0 a , então:
A gente trata como constante em relação a , então:
Lembra que (para ). Aqui .
Logo:
Então

Passo 3

Agora aplica a definição de densidade condicional:
fYmid X(ymid x) = fX,Y(x,y)fX(x) = 6,x,e^-3y2x
Dá pra cancelar o fYmid X(ymid x) = 3,e^-3y, y>0 (desde que ) e simplificar , então:
Repara que não sobrou dependência em (além da condição ), ou seja, dado um na faixa, é .

Resposta

boxedfYmid X(ymid x) = 3,e^-3y, y>0

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