A f.d.p. conjunta de variáveis aleatórias X e Y é dada por:
f(x, y)=6 x e^-3 y 00
Responda:
(a) Obtenha as marginais de X e Y e verifique se eles são independentes.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a função densidade conjunta de duas variáveis aleatórias f(x,y)=6,x,e^-3y, 00 e f(x,y) = fX(x),fY(y) é
O que a gente precisa fazer é:
  • Encontrar as densidades marginais e
  • Verificar se e são independentes, ou seja, checar se
Pra isso, vamos usar a ideia de integrar a densidade conjunta em uma variável pra “eliminar” ela e obter a densidade da outra.

Passo 2

Calcular fX(x) = integraly=0^infty f(x,y),dy .
Por definição, a marginal de fX(x) = integral0^infty 6x,e^-3y,dy é
fX(x) = 6x integral0^infty e^-3y,dy
Aqui fX(x) = 6x cdot 13 = 2x, 0. Então
Como não depende de , sai da integral:
A integral é . Logo

Passo 3

Calcular fY(y) = integralx=0^1 f(x,y),dx = integral0^1 6x,e^-3y,dx .
De modo similar, a marginal de fY(y) = e^-3y integral0^1 6x,dx = e^-3y cdot [3x^2]0^1 = e^-3y cdot 3 = 3,e^-3y, y>0 é
Aqui é constante em relação a , então

Passo 4

Verificar independência.
Duas variáveis são independentes se
f(x,y) = fX(x),fY(y)
para todo fX(x),fY(y) = l(2xr),l(3 e^-3yr) = 6x,e^-3y, no domínio. Vamos multiplicar as marginais:
que é exatamente . Portanto, sim, e são independentes.

Resposta

Marginais:
fX(x) = 2x,;00
E e são independentes, pois .

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