A f.d.p. conjunta de variáveis aleatórias
e
é dada por:
Responda:
(a) Obtenha as marginais de
e
e verifique se eles são independentes.
(a) Obtenha as marginais de
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que a função densidade conjunta de duas variáveis aleatórias
e
é
O que a gente precisa fazer é:
- Encontrar as densidades marginais
e - Verificar se
e são independentes, ou seja, checar se
Pra isso, vamos usar a ideia de integrar a densidade conjunta em uma variável pra “eliminar” ela e obter a densidade da outra.
Passo 2
Calcular
.
Por definição, a marginal de é
Por definição, a marginal de
Aqui
. Então
Como
não depende de
, sai da integral:
A integral
é
. Logo
Passo 3
Calcular
.
De modo similar, a marginal de é
De modo similar, a marginal de
Aqui
é constante em relação a
, então
Passo 4
Verificar independência.
Duas variáveis são independentes se
Duas variáveis são independentes se
para todo
no domínio. Vamos multiplicar as marginais:
que é exatamente
. Portanto, sim,
e
são independentes.
Resposta
Marginais:
E
e
são independentes, pois
.