A f.d.p. conjunta de variáveis aleatórias X e Y é dada por:
f(x, y)=5 / 6(x+y^2) 0
Obtenha a E(X=x mid Y=0.8).

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos a f.d.p. conjunta
f(x,y)=56l(x+y^2r), 0
e pede para achar
El(Xmid Y=0.8r)
Isso é sobre variáveis contínuas, densidade condicional e cálculo de expectativa condicional. Para resolver, a gente vai precisar:
  1. achar a densidade marginal de Y em 0.8,
  2. montar a densidade condicional ,
  3. calcular a integral que define .

Passo 2

Calcular a densidade marginal de Y em fY(y)=integral0^1 f(x,y),dx =integral0^1 56(x+y^2),dx =56l(integral0^1 x,dx + y^2integral0^1 dxr) :
fY(y)=56l(tfrac12 + y^2r)
Como fY(0.8) =56l(tfrac12 + 0.8^2r) =56l(tfrac12 + 0.64r) =56times1.14 =5.76 =0.95 e , fica
Em ,

Passo 3

A densidade condicional é
fXmid Y(xmid 0.8) =f(x,0.8)fY(0.8) =tfrac56l(x+0.8^2r)0.95 =tfrac56(x+0.64)0.95, 0

Passo 4

Agora a expectativa condicional:
E(Xmid Y=0.8) =integral0^1 x,fXmid Y(xmid 0.8),dx =integral0^1 x;tfrac56(x+0.64)0.95;dx
Puxando constantes para fora da integral:
E(Xmid Y=0.8) =56cdot0.95integral0^1 l(x^2+0.64,xr),dx
Calcule a integral:
integral0^1 x^2,dx=13, integral0^1 x,dx=12,
então
integral0^1 (x^2+0.64x),dx =13 + 0.64cdot12 =13 + 0.32 =13+0.32 =4975(approx0.6533)
Logo
E(Xmid Y=0.8) =56cdot0.95times4975 =5057times4975 =98171 approx0.5731

Resposta

El(Xmid Y=0.8r)=98171approx0.5731

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