Um conjunto com 10 vetores em \mathbb{R}^{7} pode ser LI?

Passo 1

O enunciado pergunta se um conjunto com 10 vetores em \mathbb{R}^{7} pode ser linearmente independente.
Informações dadas: temos 10 vetores (vou chamá-los genericamente de v_{1},v_{2},\dots,v_{10}) e o espaço ambiente é \mathbb{R}^{7}.
Pergunta explícita: “pode esse conjunto ser linearmente independente (LI)?”

Passo 2

Definição clara e simples de independência linear (LI): um conjunto de vetores \{v_{1},\dots,v_{k}\} é linearmente independente se a única forma de obter o vetor nulo como combinação linear deles é usando todos os coeficientes iguais a zero. Em fórmulas:
\text{se }\sum_{i=1}^{k} a_{i} v_{i} = 0\text{ então }a_{1}=a_{2}=\cdots=a_{k}=0.ã
Aqui cada a_{i} é um número real (coeficiente). Se existir uma combinação não trivial (algum a_{i}\neq 0) que faz \sum_{i} a_{i} v_{i}=0, dizemos que os vetores são linearmente dependentes.

Passo 3

Transformando o problema em um sistema linear: coloque os 10 vetores como colunas de uma matriz A de tamanho 7\times 10. Queremos saber se existe alguma solução não trivial do sistema homogêneo
A\mathbf{a}=0,
onde \mathbf{a}=(a_{1},\dots,a_{10})^{T} são os coeficientes da combinação linear. Cada linha dessa igualdade é uma equação (no total 7 equações) e há 10 incógnitas a_{1},\dots,a_{10}.

Passo 4

Argumento sobre número de equações vs incógnitas (intuitivo e prático para prova): um sistema linear homogêneo com m equações e n incógnitas, com n>m, sempre tem pelo menos uma solução não-trivial. Aqui temos m=7 e n=10, logo n>m. Explicando por que: ao aplicar eliminação de Gauss numa matriz 7\times 10 obtém-se no máximo 7 pivôs (um por linha), então pelo menos 10-7=3 variáveis ficam livres; escolhendo valores não todos nulos para essas variáveis livres obtemos uma solução \mathbf{a}\neq 0 satisfazendo A\mathbf{a}=0. Essa é exatamente uma combinação linear não-trivial entre as colunas que dá zero, ou seja, dependência linear.

Passo 5

Outra forma compacta (fórmula útil que você pode citar na prova): a dimensão de \mathbb{R}^{7} é 7. O número máximo de vetores linearmente independentes em \mathbb{R}^{7} é 7. Assim qualquer conjunto com mais de 7 vetores em \mathbb{R}^{7} é necessariamente linearmente dependente. Portanto um conjunto com 10 vetores não pode ser LI.

Passo 6

Exemplo concreto e rápido para fixar a intuição: tome os vetores padrão \{e_{1},\dots,e_{7}\} em \mathbb{R}^{7} e acrescente v_{8}=e_{1}, v_{9}=e_{2}, v_{10}=e_{1}+e_{2}. Claramente já existe dependência porque v_{8}-e_{1}=0 (ou seja, 1\cdot v_{8}+(-1)\cdot e_{1}=0 com coeficientes não todos nulos). Isso mostra na prática que é fácil construir dependências quando temos mais vetores que a dimensão.

Passo 7

Dica de prova curta e direta para a prova: escreva “Não. Em \mathbb{R}^{7} o número máximo de vetores linearmente independentes é 7. Como 10>7, qualquer conjunto de 10 vetores em \mathbb{R}^{7} é linearmente dependente.” Essa frase é suficiente e aceita em provas (se quiser, acrescente a justificativa rápida pelo sistema homogêneo).

Resposta

Não — um conjunto com 10 vetores em \mathbb{R}^{7} não pode ser linearmente independente; ele é necessariamente linearmente dependente.

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