Um conjunto com 10 vetores em
pode ser LI?
Passo 1
O enunciado pergunta se um conjunto com
vetores em
pode ser linearmente independente.
Informações dadas: temos vetores (vou chamá-los genericamente de
) e o espaço ambiente é
.
Pergunta explícita: “pode esse conjunto ser linearmente independente (LI)?”
Informações dadas: temos
Pergunta explícita: “pode esse conjunto ser linearmente independente (LI)?”
Passo 2
Definição clara e simples de independência linear (LI): um conjunto de vetores
é linearmente independente se a única forma de obter o vetor nulo como combinação linear deles é usando todos os coeficientes iguais a zero. Em fórmulas:
Aqui cada
é um número real (coeficiente). Se existir uma combinação não trivial (algum
) que faz
, dizemos que os vetores são linearmente dependentes.
Passo 3
Transformando o problema em um sistema linear: coloque os
vetores como colunas de uma matriz
de tamanho
. Queremos saber se existe alguma solução não trivial do sistema homogêneo
onde
são os coeficientes da combinação linear. Cada linha dessa igualdade é uma equação (no total
equações) e há
incógnitas
.
Passo 4
Argumento sobre número de equações vs incógnitas (intuitivo e prático para prova): um sistema linear homogêneo com
equações e
incógnitas, com
, sempre tem pelo menos uma solução não-trivial. Aqui temos
e
, logo
. Explicando por que: ao aplicar eliminação de Gauss numa matriz
obtém-se no máximo
pivôs (um por linha), então pelo menos
variáveis ficam livres; escolhendo valores não todos nulos para essas variáveis livres obtemos uma solução
satisfazendo
. Essa é exatamente uma combinação linear não-trivial entre as colunas que dá zero, ou seja, dependência linear.
Passo 5
Outra forma compacta (fórmula útil que você pode citar na prova): a dimensão de
é
. O número máximo de vetores linearmente independentes em
é
. Assim qualquer conjunto com mais de
vetores em
é necessariamente linearmente dependente. Portanto um conjunto com
vetores não pode ser LI.
Passo 6
Exemplo concreto e rápido para fixar a intuição: tome os vetores padrão
em
e acrescente
,
,
. Claramente já existe dependência porque
(ou seja,
com coeficientes não todos nulos). Isso mostra na prática que é fácil construir dependências quando temos mais vetores que a dimensão.
Passo 7
Dica de prova curta e direta para a prova: escreva “Não. Em
o número máximo de vetores linearmente independentes é
. Como
, qualquer conjunto de
vetores em
é linearmente dependente.” Essa frase é suficiente e aceita em provas (se quiser, acrescente a justificativa rápida pelo sistema homogêneo).
Resposta
Não — um conjunto com
vetores em
não pode ser linearmente independente; ele é necessariamente linearmente dependente.