Como decidir se k vetores em \mathbb{R}^{n} é um conjunto LI?

Passo 1

O que o problema pede: decidir se k vetores em \mathbb{R}^{n} formam um conjunto linearmente independente (LI) ou não.
Informações dadas (genéricas): temos vetores \\ v_{1},v_{2},\dots,v_{k}\in\mathbb{R}^{n}. A pergunta é: esses k vetores são LI?

Passo 2

Definição precisa e intuitiva de independência linear.
Definição: os vetores \\ v_{1},\dots,v_{k} são linearmente independentes se a única solução do sistema
a_{1}v_{1}+a_{2}v_{2}+\cdots+a_{k}v_{k}=0
é a_{1}=a_{2}=\cdots=a_{k}=0.
Interpretação simples: não existe combinação linear não-trivial (com algum coeficiente diferente de zero) que produza o vetor nulo. Se existir tal combinação, os vetores são linearmente dependentes (LD). Essa equação é a peça-chave — tudo se reduz a ela.

Passo 3

Como transformar a definição num teste prático (montar uma matriz).
Coloque os vetores como colunas de uma matriz A:
A=\begin{pmatrix} | & | & & | \\\ v_{1} & v_{2} & \cdots & v_{k} \\\ | & | & & | \end{pmatrix}\in\mathbb{R}^{n\times k}.
Escrevendo x=(a_{1},\dots,a_{k})^{T}, a condição a_{1}v_{1}+\cdots+a_{k}v_{k}=0 fica
A x = 0.
Logo: os vetores são LI exatamente quando o sistema homogêneo A x=0 tem apenas a solução trivial x=0.

Passo 4

Teste prático por eliminação (redução por linhas).
Método passo a passo que você faz na prova:
  1. Forme A com as colunas v_{1},\dots,v_{k}.
  2. Faça operações elementares por linhas para obter a forma escada reduzida (RREF).
  3. Conte o número de pivôs (linhas/colunas com pivot). Esse número é \mathrm{rank}(A).
    Resultado: se \mathrm{rank}(A)=k então todas as colunas têm pivot e os vetores são LI. Se \mathrm{rank}(A)<k então existe pelo menos uma coluna sem pivot → existe variável livre → existe solução não-trivial de Ax=0 → vetores são LD.
Dica prática: você pode parar a redução assim que ver que há menos pivôs do que colunas; não precisa completar tudo.

Passo 5

Casos especiais muito úteis (atalhos rápidos na prova).
  • Se k>n então automaticamente os vetores são LD, porque \mathrm{rank}(A)\le n<k. (Pense em gavetas: mais vetores que dimensões → dependência).
  • Se k=n (matriz quadrada n\times n), então os vetores são LI se, e somente se, \det(A)\neq 0. Explicação curta: \det(A)\neq0 A é invertível ⇔ Ax=0 tem só x=0. Assim usar o determinante é um atalho quando a matriz é quadrada.
  • Se algum vetor é o vetor nulo (0,0,\dots,0) então o conjunto é LD imediatamente, porque você pode escolher coeficiente 1 para esse vetor e zeros para os outros.

Passo 6

Exemplo concreto 1 (dependência fácil) — acompanhe como fazer na prova.
Considere \\ v_{1}=(1,0,0),\;v_{2}=(0,1,0),\;v_{3}=(1,1,0) em \mathbb{R}^{3}. Forme
A=\begin{pmatrix}1 & 0 & 1 \\[4pt] 0 & 1 & 1 \\[4pt] 0 & 0 & 0\end{pmatrix}.
Já está em forma escalonada: há pivôs nas colunas 1 e 2, mas a coluna 3 não tem pivot. Então \mathrm{rank}(A)=2<3, logo os vetores são LD. Observação rápida: v_{1}+v_{2}-v_{3}=0 dá a combinação não-trivial que mostra a dependência.]

Passo 7

Exemplo concreto 2 (independência) — passo a passo.
Considere a base canônica \\ e_{1}=(1,0,0),\;e_{2}=(0,1,0),\;e_{3}=(0,0,1). Forme
B=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\[4pt] 0 & 1 & 0 \\[4pt] 0 & 0 & 1\end{pmatrix}.
A redução por linhas já é a matriz identidade; \mathrm{rank}(B)=3=k. Portanto os vetores são LI. Na prova, se a matriz reduzir à identidade, foi-se confirmado que cada coluna tem pivot — independente.]

Passo 8

Resumo prático — o que fazer em 1 minuto na prova e dicas de inspeção rápida.
  • Primeiro olhe para atalhos: se k>n → LD; se algum vetor é nulo → LD; se k=n calcule \det.
  • Se não for óbvio, forme A com colunas os vetores e faça eliminação por linhas até contar pivôs.
  • Se o número de pivôs = k → LI; se < k → LD.
  • Sempre que possível tente enxergar combinações simples (somas, subtrações, múltiplos) antes de reduzir — às vezes você resolve sem cálculos pesados.
    Força: pratique com 2–3 exemplos rápidos antes da prova para ficar ágil com a eliminação — você vai ganhar tempo e confiança.

Resposta

Forme A com as colunas sendo os vetores e resolva A x=0 por redução por linhas; se \mathrm{rank}(A)=k então os vetores são LI, se \mathrm{rank}(A)<k então são LD.
Observações: se k>n então são LD; se k=n então são LI ⇔ \det(A)\neq0.

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