Como verificar se um conjunto de vetores em \mathbb{R}^{n} é um subespaço vetorial?

Passo 1

O que o problema pede: você quer saber, de forma prática e confiável, como verificar se um conjunto S\subseteq\mathbb{R}^{n} é um subespaço vetorial.
Informações que temos (geral, sem um conjunto específico): temos um subconjunto S de \mathbb{R}^{n} e precisamos testar propriedades para decidir se S é um subespaço.

Passo 2

Definição que vamos usar (explicada com calma): um subconjunto S\subseteq\mathbb{R}^{n} é um subespaço vetorial se, quando olhamos somente para os vetores de S e as operações de soma e multiplicação por escalar herdadas de \mathbb{R}^{n}, S satisfaz todas as propriedades de espaço vetorial. Na prática isso se resume a poucas verificações que são fáceis de aplicar na prova.

Passo 3

Teste prático e básico (a forma mais comum): verificar três propriedades simples. Vou explicar cada uma e o porquê.
  1. Presença do vetor zero: verifique que 0\in S. Aqui 0 é o vetor nulo em \mathbb{R}^{n}, ou seja \displaystyle 0=(0,0,\dots,0). Se 0\notin S então S não é subespaço — fim. Por que isso importa? Todo espaço vetorial deve conter o vetor nulo, então é necessário.
  2. Fechamento por soma: para quaisquer u,v\in S verifique que u+v\in S. Isso garante que somar dois vetores do conjunto não sai do conjunto.
  3. Fechamento por multiplicação escalar: para todo escalar c\in\mathbb{R} e todo u\in S, verifique que c\,u\in S. Isso garante que multiplicar por qualquer real não tira o vetor do conjunto.
Essas três condições são necessárias e suficientes: se as três valem, S é subespaço; se alguma falha, não é subespaço. Vou justificar rapidinho: elas garantem todas as propriedades do espaço vetorial (associatividade, existência de inverso aditivo já vem das condições com 0 e fechamento por soma e por escalares).

Passo 4

Dica técnica para economizar passos na prova: em vez de checar separadamente fechamento por soma e por escalar, você pode checar fechamento por combinações lineares: para quaisquer u,v\in S e quaisquer escalares a,b\in\mathbb{R}, verifique que a\,u+b\,v\in S. Se isso vale, então fechamento por soma e por escalares valem (basta escolher a=b=1 para a soma e b=0 para a multiplicação por escalares). Essa condição é equivalente às três anteriores e muitas vezes é mais direta quando S aparece como espaço gerado por vetores.

Passo 5

Como proceder dependendo de como S foi dado (estratégias práticas):
  • Se S é descrito como solução de um sistema linear homogêneo, por exemplo
S=\{x\in\mathbb{R}^{n}\mid A x = 0\},
então S é sempre subespaço. Por quê? Soma e múltiplos de soluções de um sistema homogêneo permanecem soluções (porque A(u+v)=Au+Av=0+0=0 e A(cu)=cAu=c\cdot0=0). Portanto se for sistema homogêneo (termos independentes zero) pode declarar imediatamente: é subespaço.
  • Se S é descrito por equações lineares não-homogêneas, tipo
S=\{x\in\mathbb{R}^{n}\mid A x = b\},\quad b\neq 0,
então S não é subespaço (o vetor zero geralmente não satisfaz Ax=b, e mesmo que satisfaça, a soma de soluções pode não ser solução). Logo equações com termos constantes não-zero rejeitam ser subespaço.
  • Se S é descrito como span de um conjunto de vetores, por exemplo
S=\operatorname{span}\{v_1,\dots,v_k\}=\{a_1v_1+\dots+a_kv_k\mid a_i\in\mathbb{R}\},
então S é subespaço automaticamente — span sempre gera subespaço.

Passo 6

Exemplos guiados (faça isto na prova: escreva cada conta):
Exemplo A — conjunto que é subespaço: S=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid x=2y\}.
  • Verifique 0\in S: (0,0) tem 0=2\cdot 0, ok.
  • Fechamento por soma: pegue u=(2y_1,y_1) e v=(2y_2,y_2) em S. Então
u+v=(2y_1+2y_2,\; y_1+y_2)=\bigl(2(y_1+y_2),\; y_1+y_2\bigr),
que tem primeira componente igual a 2 vezes a segunda; logo u+v\in S.
  • Fechamento por escalares: para c\in\mathbb{R},
c\,u=c(2y_1,y_1)=(2(cy_1),\; cy_1),
que também satisfaz a relação x=2y. Logo S é subespaço.
Observe que aqui eu reescrevi qualquer vetor de S com um parâmetro y e usei a forma paramétrica — essa é uma técnica poderosa: parametrizar e verificar regras.

Passo 7

Exemplo guiado de conjunto que não é subespaço: T=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid x+y=1\}.
  • Verifique 0\in T? O vetor zero é (0,0) e 0+0=0\neq 1. Então 0\notin T. Conclusão imediata: T não é subespaço. Não precisa testar mais nada. Essa é a checagem rápida útil na prova: se a equação tem constante não-zero, já apaga.

Passo 8

Mais uma técnica prática: usar forma matricial e escalonamento. Se S é definido por um conjunto de equações lineares homogêneas, escreva a matriz A e resolva Ax=0 por eliminação (escalonamento). Ao final você obtém parâmetros livres e uma parametrização da forma
x = t_1 v_1 + \dots + t_k v_k,
da qual fica claro que S=\operatorname{span}\{v_1,\dots,v_k\} e portanto é subespaço. Se durante a eliminação aparece uma equação do tipo 0=1 então S é vazio e não é subespaço.

Passo 9

Argumentos rápidos e truques para prova com pouco tempo:
  • Primeiro cheque rápido: 0\in S? Se não, pare.
  • Se o conjunto é dado por equações, cheque se são homogêneas (lado direito igual a 0). Se homogêneas → subespaço (não esqueça de justificar a linearidade).
  • Se o conjunto é dado por geração/combinações lineares → é subespaço.
  • Se precisar mostrar fechamento por soma e escalares em prova, faça com vetores genéricos u,v\in S escritos na forma dada (por parâmetros ou por equações) e calcule u+v e c\,u e mostre que satisfazem a definição do conjunto. Escreva as contas passo a passo (isso é o que garante nota).

Passo 10

Exemplos extras curtos para fixar (faça na cabeça):
  • S=\{(x,y,z)\mid x-y+2z=0,\; 3x+z=0\} → sistema homogêneo → subespaço.
  • U=\{(x,y)\mid x^2+y^2\le 1\} → não é subespaço (não fechado por multiplicação por escalar: multiplique por número grande e sai do conjunto).
  • V=\operatorname{span}\{(1,0,0),(0,1,0)\} → subespaço (por definição).

Resposta

Verifique:
0\in S.
Para todo u,v\in S tem u+v\in S.
Para todo c\in\mathbb{R} e u\in S tem c\,u\in S.

Exercícios relacionados