Como verificar se um conjunto de vetores em
é um subespaço vetorial?
Passo 1
O que o problema pede: você quer saber, de forma prática e confiável, como verificar se um conjunto
é um subespaço vetorial.
Informações que temos (geral, sem um conjunto específico): temos um subconjunto de
e precisamos testar propriedades para decidir se
é um subespaço.
Informações que temos (geral, sem um conjunto específico): temos um subconjunto
Passo 2
Definição que vamos usar (explicada com calma): um subconjunto
é um subespaço vetorial se, quando olhamos somente para os vetores de
e as operações de soma e multiplicação por escalar herdadas de
,
satisfaz todas as propriedades de espaço vetorial. Na prática isso se resume a poucas verificações que são fáceis de aplicar na prova.
Passo 3
Teste prático e básico (a forma mais comum): verificar três propriedades simples. Vou explicar cada uma e o porquê.
- Presença do vetor zero: verifique que
. Aqui é o vetor nulo em , ou seja . Se então não é subespaço — fim. Por que isso importa? Todo espaço vetorial deve conter o vetor nulo, então é necessário. - Fechamento por soma: para quaisquer
verifique que . Isso garante que somar dois vetores do conjunto não sai do conjunto. - Fechamento por multiplicação escalar: para todo escalar
e todo , verifique que . Isso garante que multiplicar por qualquer real não tira o vetor do conjunto.
Essas três condições são necessárias e suficientes: se as três valem,
é subespaço; se alguma falha, não é subespaço. Vou justificar rapidinho: elas garantem todas as propriedades do espaço vetorial (associatividade, existência de inverso aditivo já vem das condições com
e fechamento por soma e por escalares).
Passo 4
Dica técnica para economizar passos na prova: em vez de checar separadamente fechamento por soma e por escalar, você pode checar fechamento por combinações lineares: para quaisquer
e quaisquer escalares
, verifique que
. Se isso vale, então fechamento por soma e por escalares valem (basta escolher
para a soma e
para a multiplicação por escalares). Essa condição é equivalente às três anteriores e muitas vezes é mais direta quando
aparece como espaço gerado por vetores.
Passo 5
Como proceder dependendo de como
foi dado (estratégias práticas):
- Se
é descrito como solução de um sistema linear homogêneo, por exemplo
então
é sempre subespaço. Por quê? Soma e múltiplos de soluções de um sistema homogêneo permanecem soluções (porque
e
). Portanto se for sistema homogêneo (termos independentes zero) pode declarar imediatamente: é subespaço.
- Se
é descrito por equações lineares não-homogêneas, tipo
então
não é subespaço (o vetor zero geralmente não satisfaz
, e mesmo que satisfaça, a soma de soluções pode não ser solução). Logo equações com termos constantes não-zero rejeitam ser subespaço.
- Se
é descrito como span de um conjunto de vetores, por exemplo
então
é subespaço automaticamente — span sempre gera subespaço.
Passo 6
Exemplos guiados (faça isto na prova: escreva cada conta):
Exemplo A — conjunto que é subespaço: .
Exemplo A — conjunto que é subespaço:
- Verifique
: tem , ok. - Fechamento por soma: pegue
e em . Então
que tem primeira componente igual a
vezes a segunda; logo
.
- Fechamento por escalares: para
,
que também satisfaz a relação
. Logo
é subespaço.
Observe que aqui eu reescrevi qualquer vetor de com um parâmetro
e usei a forma paramétrica — essa é uma técnica poderosa: parametrizar e verificar regras.
Observe que aqui eu reescrevi qualquer vetor de
Passo 7
Exemplo guiado de conjunto que não é subespaço:
.
- Verifique
? O vetor zero é e . Então . Conclusão imediata: não é subespaço. Não precisa testar mais nada. Essa é a checagem rápida útil na prova: se a equação tem constante não-zero, já apaga.
Passo 8
Mais uma técnica prática: usar forma matricial e escalonamento. Se
é definido por um conjunto de equações lineares homogêneas, escreva a matriz
e resolva
por eliminação (escalonamento). Ao final você obtém parâmetros livres e uma parametrização da forma
da qual fica claro que
e portanto é subespaço. Se durante a eliminação aparece uma equação do tipo
então
é vazio e não é subespaço.
Passo 9
Argumentos rápidos e truques para prova com pouco tempo:
- Primeiro cheque rápido:
? Se não, pare. - Se o conjunto é dado por equações, cheque se são homogêneas (lado direito igual a
). Se homogêneas → subespaço (não esqueça de justificar a linearidade). - Se o conjunto é dado por geração/combinações lineares → é subespaço.
- Se precisar mostrar fechamento por soma e escalares em prova, faça com vetores genéricos
escritos na forma dada (por parâmetros ou por equações) e calcule e e mostre que satisfazem a definição do conjunto. Escreva as contas passo a passo (isso é o que garante nota).
Passo 10
Exemplos extras curtos para fixar (faça na cabeça):
-
→ sistema homogêneo → subespaço. -
→ não é subespaço (não fechado por multiplicação por escalar: multiplique por número grande e sai do conjunto). -
→ subespaço (por definição).
Resposta
Verifique:
.
Para todo tem
.
Para todo e
tem
.
Para todo
Para todo