Dado um conjunto \left\{v_{1}, \ldots, v_{k}\right\} um conjunto de vetores em \mathbb{R}^{n}, como decidir se v \in \mathbb{R}^{n} é combinação linear dos elementos deste conjunto?

Passo 1

O enunciado dá um conjunto de vetores \{v_{1},\ldots,v_{k}\} em \mathbb{R}^{n} e um vetor v\in\mathbb{R}^{n}. A pergunta é: como decidir se v é combinação linear dos elementos desse conjunto?\n
Informações fornecidas:
\text{vetores } v_{1},\ldots,v_{k}\in\mathbb{R}^{n},\qquad v\in\mathbb{R}^{n}.
O que se pede:
  • Determinar um procedimento claro e aplicável (passo a passo) para decidir se existe uma combinação linear
c_{1}v_{1}+\cdots+c_{k}v_{k}=v
com alguns escalares c_{1},\dots,c_{k}\in\mathbb{R}.

Passo 2

Definição prática (aqui aprendemos o que significa “ser combinação linear”): dizer que v é combinação linear dos vetores \{v_{1},\ldots,v_{k}\} significa que existem escalares c_{1},\ldots,c_{k} tais que
c_{1}v_{1}+\cdots+c_{k}v_{k}=v.
Interpretação: estamos tentando escrever v como uma soma ponderada dos v_{i}. Os incógnitos são os escalares c_{1},\dots,c_{k}.

Passo 3

Reescrever o problema na forma de sistema linear — isso é a ferramenta básica que vamos usar.\n
Forme a matriz A cujas colunas são os vetores v_{1},\dots,v_{k}:
A = \begin{bmatrix} \,| & & |\\\ v_{1} & \cdots & v_{k} \\\ \,| & & | \end{bmatrix}\in\mathbb{R}^{n\times k}.
Defina o vetor de incógnitas
c=\begin{pmatrix}c_{1}\\\ \vdots\\\ c_{k}\end{pmatrix}\in\mathbb{R}^{k}.
A condição c_{1}v_{1}+\cdots+c_{k}v_{k}=v pode ser escrita de maneira compacta como
A c = v.
Portanto o problema reduz-se a decidir se o sistema linear A c = v tem solução.

Passo 4

Método prático para a prova (passo a passo operacional):
  1. Escreva a matriz aumentada \left[\,A\mid v\,\right], isto é, a matriz A com a coluna v adicionada ao lado direito.
  2. Faça eliminação de Gauss (redução por linhas) na matriz aumentada até uma forma triangular ou forma reduzida por linhas.
  3. Verifique se aparece uma equação impossível do tipo 0= \text{não-zero}ã. Se aparecer, o sistema é inconsistente e v não é combinação linear.
  4. Se não aparecer contradição, o sistema é consistente e v é combinação linear. As soluções c fornecem os coeficientes da combinação.
    Explicação das operações permitidas: trocar linhas, multiplicar uma linha por um escalar não nulo, somar múltiplos de uma linha a outra. Essas operações preservam o conjunto de soluções do sistema.

Passo 5

Critério de posto (mais teórico, mas útil e rápido quando se usa cálculo de posto):
  • Calcule \operatorname{rank}(A) e \operatorname{rank}\big([A\mid v]\big).
  • Regra: o sistema A c=v é consistente (existe solução) se, e somente se,
\operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}\big([A\mid v]\big).
  • Se \operatorname{rank}(A)<\operatorname{rank}\big([A\mid v]\big) então não existe solução e v não está no span (v_{1},\dots,v_{k}).
    Interpretação geométrica: as colunas de A geram um subespaço (span). v está nesse subespaço se as colunas continuam a gerar v (ou seja, adicionar v não aumenta o posto).

Passo 6

O que significam os diferentes resultados (para você na hora da prova):
  • Se a eliminação dá uma solução única: as colunas são linearmente independentes e v é uma combinação linear de forma única.
  • Se a eliminação dá soluções infinitas (parâmetros livres): as colunas são linearmente dependentes, mas ainda assim v pode estar no span — haverá infinitas combinações que geram v.
  • Se a eliminação dá contradição: v não é combinação linear.
    Dica prática: não precisa calcular todos os coeficientes se a sua única meta for responder “sim” ou “não”: basta detectar consistência/inconsistência durante a eliminação.

Passo 7

Exemplo concreto 1 (caso consistente, mostro passo a passo): seja n=3, k=2,
v_{1}=\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 2\end{pmatrix},\quad v_{2}=\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix},\quad v=\begin{pmatrix}2\\\ 1\\\ 5\end{pmatrix}.
Forme A e a matriz aumentada:
A=\begin{bmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 1\\[4pt]2 & 1\end{bmatrix},\qquad \big[\,A\mid v\,\big]=\begin{bmatrix}1 & 0 & \mid & 2\\[4pt]0 & 1 & \mid & 1\\[4pt]2 & 1 & \mid & 5\end{bmatrix}.
Eliminação (uso operações por linhas):
  • Subtraia 2 vezes a linha 1 da linha 3:
\begin{bmatrix}1 & 0 & \mid & 2\\[4pt]0 & 1 & \mid & 1\\[4pt]0 & 1 & \mid & 1\end{bmatrix}.
  • Subtraia a linha 2 da linha 3:
\begin{bmatrix}1 & 0 & \mid & 2\\[4pt]0 & 1 & \mid & 1\\[4pt]0 & 0 & \mid & 0\end{bmatrix}.
Não há contradição; o sistema é consistente. Lemos as equações:
c_{1}=2,\qquad c_{2}=1.
Verificação: 2v_{1}+1v_{2}=\begin{pmatrix}2\\\ 1\\\ 5\end{pmatrix}=v. Conclusão: v é combinação linear.]

Passo 8

Exemplo concreto 2 (caso inconsistente): mesmos v_{1},v_{2} e agora
v'=\begin{pmatrix}2\\\ 1\\\ 6\end{pmatrix}.
Matriz aumentada:
\big[\,A\mid v'\,\big]=\begin{bmatrix}1 & 0 & \mid & 2\\[4pt]0 & 1 & \mid & 1\\[4pt]2 & 1 & \mid & 6\end{bmatrix}.
Eliminação:
  • Subtraia 2 vezes a linha 1 da linha 3:
\begin{bmatrix}1 & 0 & \mid & 2\\[4pt]0 & 1 & \mid & 1\\[4pt]0 & 1 & \mid & 2\end{bmatrix}.
  • Subtraia a linha 2 da linha 3:
\begin{bmatrix}1 & 0 & \mid & 2\\[4pt]0 & 1 & \mid & 1\\[4pt]0 & 0 & \mid & 1\end{bmatrix}.
A última linha diz 0=1, contradição. Logo o sistema é inconsistente e v' não é combinação linear de v_{1},v_{2}.]

Passo 9

Resumo passo a passo para levar à prova (checklist rápido que você pode fazer à mão):
  1. Monte A=[v_{1}\\ \cdots\\ v_{k}] e a matriz aumentada [A\mid v].
  2. Faça eliminação de Gauss apenas o suficiente para detectar consistência (procure linhas do tipo 0=\text{não-zero}ã).
  3. Se encontrar contradição: responda “não” — v não é combinação linear.
  4. Se não houver contradição: responda “sim” — v é combinação linear; se quiser, resolva para obter os coeficientes c_{i}.
    Dica de tempo: se n e k forem grandes, em prova demonstre eficiência priorizando apenas alcançar uma linha contraditória ou provar que todas as equações são compatíveis.

Passo 10

Erros comuns e dicas finais:
  • Não confunda testar independência com testar se um vetor está no span: aqui queremos consistência de A c = v.
  • Evite multiplicar linhas por zero por engano; use pivôs e mantenha controle das operações.
  • Use o critério de posto se souber calcular postos rapidamente (às vezes mais curto).
  • Respire: se ficar preso na eliminação, recupere a forma triangular e leia as equações finais — muitas vezes a contradição aparece numa linha simples.
    Boa sorte na prova — você consegue!

Resposta

Construir A=[v_{1}\\ \dots\\ v_{k}] e resolver A c = v (ou reduzir a matriz aumentada [A\mid v]). Se o sistema for consistente (ou seja, \operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}([A\mid v])), então v é combinação linear; caso contrário, não.

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