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O conjunto B=(x, y) in R^2: x^2+y^2 <= 4 backslash0 times[-1,1] é simplesmente conexo?
Escolha uma opção:
a. Falso
b. Verdadeiro

Passo 1

O enunciado define
B ;=; (x,y)inR^2: x^2+y^2<=4;setminus;l(0times[-1,1]r),
ou seja, o disco fechado de raio 2 no plano, do qual se retirou o segmento vertical que vai de (0,-1) até (0,1). A questão é determinar se B é simplesmente conexo, isto é, se todo laço fechado em B pode ser continuamente deformado a um ponto em B.

Passo 2

Primeiro notamos que B continua conectado por caminhos: mesmo com o segmento retirado, dados dois pontos em B podemos ligar um ao outro por um caminho que desvie levemente dos pontos (0,y) com |y|<=1, passando pela “esquina” dos extremos (0,1) ou (0,-1), onde há brechas para contornar o obstáculo.

Passo 3

Agora, para ver a simples conexão, basta usar a ideia de que o “obstáculo” removido é um arco fechado 0times[-1,1] cujas extremidades não tocam a fronteira do disco. Na topologia do plano, o complemento de um arco fechado é sempre um domínio sem “buracos” verdadeiros: qualquer laço que envolva o arco pode ser deformado e “escorregado” pelas extremidades livres do arco até encolher a um ponto.

Passo 4

Em termos mais formais, pode-se acrescentar o ponto no infinito para ver B como o complemento de um arco em S^2; pela dualidade de Alexander, esse complemento tem homologia trivial em grau 1, e de fato toda curva fechada em B se contrai em B.

Resposta

b. Verdadeiro

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