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O conjunto
é simplesmente conexo?
Escolha uma opção:
a. Falso
b. Verdadeiro
O conjunto
Escolha uma opção:
a. Falso
b. Verdadeiro
Passo 1
O enunciado define
ou seja, o disco fechado de raio 2 no plano, do qual se retirou o segmento vertical que vai de
até
. A questão é determinar se
é simplesmente conexo, isto é, se todo laço fechado em
pode ser continuamente deformado a um ponto em
.
Passo 2
Primeiro notamos que
continua conectado por caminhos: mesmo com o segmento retirado, dados dois pontos em
podemos ligar um ao outro por um caminho que desvie levemente dos pontos
com
, passando pela “esquina” dos extremos
ou
, onde há brechas para contornar o obstáculo.
Passo 3
Agora, para ver a simples conexão, basta usar a ideia de que o “obstáculo” removido é um arco fechado
cujas extremidades não tocam a fronteira do disco. Na topologia do plano, o complemento de um arco fechado é sempre um domínio sem “buracos” verdadeiros: qualquer laço que envolva o arco pode ser deformado e “escorregado” pelas extremidades livres do arco até encolher a um ponto.
Passo 4
Em termos mais formais, pode-se acrescentar o ponto no infinito para ver
como o complemento de um arco em
; pela dualidade de Alexander, esse complemento tem homologia trivial em grau 1, e de fato toda curva fechada em
se contrai em
.
Resposta
b. Verdadeiro