( 3,0 pt ) Ache o limite e, quando for o caso, determine as assíntotas da função:
lim x 3 raizx+6-xx^3-3 x^2

Passo 1

O enunciado pede
– o limite
limxto3raizx+6-xx^3-3x^2,
e, caso faça sentido, determinar as assíntotas da função nesse ponto.
Conteúdo: indeterminação do tipo 0/0, uso de racionalização para simplificar.

Passo 2

Racionalizamos o numerador multiplicando numerador e denominador por raizx+6+x. Assim,
raizx+6-xx^3-3x^2 = l(raizx+6-xr)l(raizx+6+xr)(x^3-3x^2)l(raizx+6+xr) = (x+6)-x^2x^2(x-3)l(raizx+6+xr)

Passo 3

No numerador temos
(x+6)-x^2=-l(x^2-x-6r)=-l(x-3r)l(x+2r),
e no denominador x^3-3x^2 = x^2(x-3). Logo, para xneq3,
raizx+6-xx^3-3x^2 = -(x-3)(x+2)x^2(x-3)l(raizx+6+xr) = -x+2x^2l(raizx+6+xr)

Passo 4

Agora substituímos x=3 na forma simplificada, que não dá mais indeterminação:
limxto3raizx+6-xx^3-3x^2 =-3+23^2l(raiz3+6+3r) =-59cdot6 =-554

Passo 5

Como o limite é finito, não há assíntota vertical em x=3. Na verdade há apenas um ponto de descontinuidade removível (buraco) em x=3.

Resposta

limxto3raizx+6-xx^3-3x^2 =-554
Não existe assíntota vertical em x=3; é uma descontinuidade removível.

Exercícios relacionados