Em cada item, determine a posição relativa, a intersecção e o ângulo entre a reta r e o plano pi.
r:(x, y, z)=(2,-1,1)+t(1,2,-1) e pi: x-y-z-2=0.

Passo 1

O enunciado dá a reta
r: r(t) = (2,-1,1) + t,(1,2,-1)
e o plano
pi: x - y - z - 2 = 0
Precisamos determinar:
  1. a posição relativa de r e pi,
  2. a intersecção rcappi,
  3. o ângulo phi entre r e pi.
    Para isso vamos usar produto escalar entre o vetor diretor de r e o vetor normal de pi, teste de ponto no plano e a fórmula do ângulo entre reta e plano.

Passo 2

Identificamos o vetor diretor de r e o vetor normal de pi:
v = (1,2,-1), n = (1,-1,-1)
Calculamos o produto escalar
vcdotn = 1cdot1 + 2cdot(-1) + (-1)cdot(-1) = 1 - 2 + 1 = 0
Como vcdotn=0, a reta é paralela ao plano (ou está contida nele).

Passo 3

Para decidir se r está apenas paralela ou contida em pi, testamos um ponto da reta na equação do plano. Tomamos P0=(2,-1,1) (quando t=0) e substituímos:
x - y - z - 2 l|(2,-1,1) = 2 - (-1) - 1 - 2 = 2 + 1 - 1 - 2 = 0
Como P0 satisfaz a equação do plano, concluímos que toda a reta está em pi. Logo
rcappi = r,
isto é, a intersecção é a própria reta.

Passo 4

O ângulo phi entre reta e plano satisfaz
sinphi = l|vcdotnr||v|;|n|
Como vcdotn=0, segue sinphi=0 e portanto
phi = 0^circ

Resposta

Posição relativa: a reta r está contida no plano pi.
Intersecção: rcappi = (2+t,,-1+2t,;1-t)mid tinR (a própria reta).
Ângulo entre reta e plano: phi=0^circ.

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