( 3,0 pt ) Ache o limite e, quando for o caso, determine as assíntotas da função:
lim u 1 u^4-1u^3+5 u-6 u

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limuto1u^4-1u^3+5u-6u
e, quando existirem, encontrar as assíntotas dessa função racional. Vamos usar fatoração para simplificar e depois estudar o denominador para achar as assíntotas.

Passo 2

Fatoramos o numerador e o denominador. Note que
u^4-1 = (u^2-1)(u^2+1) = (u-1)(u+1)(u^2+1)
e
u^3+5u-6u = u^3-u = u(u^2-1) = u(u-1)(u+1)

Passo 3

Para uneq -1,0,1 podemos cancelar (u-1) e (u+1), obtendo
u^4-1u^3-u = (u-1)(u+1)(u^2+1)u(u-1)(u+1) = u^2+1u

Passo 4

O limite desejado fica
limuto1u^2+1u = 1^2+11 =2

Passo 5

Para as assíntotas verticais, olhamos as raízes do denominador original que não foram canceladas. Apenas u=0 permanece no denominador, pois em u=1 e u=-1 havia buracos removíveis. Como
limuto0^pmu^2+1u=pminfty,
temos assíntota vertical em
x=0

Passo 6

Para a assíntota oblíqua, fazemos a divisão de polinômios entre numerador e denominador originais:
u^4-1u^3-u = u + u^2-1u^3-u
Como tfracu^2-1u^3-uto0 quando utopminfty, a assíntota oblíqua é
y = u

Resposta

O limite é 2.
Há assíntota vertical em x=0 e assíntota oblíqua em y=u.

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