O conjunto B=\left\{u_{1}, u_{2}\right\}, onde \vec{u}_{1}=(3,1), u_{2}=(1,1), é una base para \mathbb{R}^{2}. Transforme B em una base ortonoinal B^{\prime \prime}=\left\{w_{1}, w_{2}\right\}.

Passo 1

O enunciado nos dá uma base B=\{\vec{u}_1,\vec{u}_2\} de \mathbb{R}^2 com \vec{u}_1=(3,1) e \vec{u}_2=(1,1).
Pede-se encontrar uma base ortonormal B''=\{\vec{w}_1,\vec{w}_2\} usando o processo de Gram–Schmidt, que consiste em produzir vetores ortogonais e depois normalizá-los.

Passo 2

Definimos \vec{v}_1=\vec{u}_1. Calculamos o módulo de \vec{v}_1:
\|\vec{v}_1\|=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}.
O primeiro vetor ortonormal é
\vec{w}_1=\frac{\vec{v}_1}{\|\vec{v}_1\|} =\frac{1}{\sqrt{10}}\,(3,1).

Passo 3

Para obter \vec{w}_2, projetamos \vec{u}_2 em \vec{w}_1 e subtraímos essa projeção:
\mathrm{proj}_{\vec{w}_1}(\vec{u}_2) =(\vec{u}_2\!\cdot\!\vec{w}_1)\,\vec{w}_1, \quad \vec{u}_2\!\cdot\!\vec{w}_1 =\frac{3}{\sqrt{10}}+\frac{1}{\sqrt{10}} =\frac{4}{\sqrt{10}},
\mathrm{proj}_{\vec{w}_1}(\vec{u}_2) =\frac{4}{\sqrt{10}}\;\frac{1}{\sqrt{10}}\,(3,1) =\frac{4}{10}\,(3,1) =\Bigl(\frac{6}{5},\frac{2}{5}\Bigr).
Então
\vec{v}_2=\vec{u}_2-\mathrm{proj}_{\vec{w}_1}(\vec{u}_2) =\Bigl(1-\tfrac{6}{5},\,1-\tfrac{2}{5}\Bigr) =\Bigl(-\tfrac{1}{5},\tfrac{3}{5}\Bigr).
Calculamos o módulo de \vec{v}_2:
\|\vec{v}_2\| =\sqrt{\Bigl(-\tfrac{1}{5}\Bigr)^2+\Bigl(\tfrac{3}{5}\Bigr)^2} =\frac{\sqrt{10}}{5}.
Finalmente, normalizamos \vec{v}_2:
\vec{w}_2 =\frac{\vec{v}_2}{\|\vec{v}_2\|} =\frac{1}{\sqrt{10}}\,(-1,3).

Resposta

\vec{w}_1=\Bigl(\tfrac{3}{\sqrt{10}},\tfrac{1}{\sqrt{10}}\Bigr) \vec{w}_2=\Bigl(-\tfrac{1}{\sqrt{10}},\tfrac{3}{\sqrt{10}}\Bigr)

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