Obtenha uma equação vetorial da reta que dista 3 do plano π e é concorrente com as retas r e s.
\pi é o plano Oxy
r: X=(1,-1,-1)+\lambda(1,2,4)
s. 3 x+3=3 y+6=2 z

Passo 1

O enunciado pede uma reta ℓ que
  1. é concorrente com as retas
r: X=(1,-1,-1)+\lambda(1,2,4)
e
s:\;3x+3=3y+6=2z,
  1. tem distância 3 ao plano \pi\colon z=0.
Para resolver, vamos usar que
  • a distância de uma reta paralela ao plano z=0 é o valor absoluto da coordenada z de qualquer ponto da reta,
  • para ter distância não nula, a reta deve ser paralela ao plano, isto é, seu vetor direção tem componente z nula,
  • se ℓ intersecta r e s, então esses pontos de interseção têm a mesma coordenada z=c, e |c|=3.

Passo 2

Escrevemos s em forma paramétrica. Seja t=3x+3=3y+6=2z. Então
x=\frac{t-3}{3}= \frac{t}{3}-1,\quad y=\frac{t-6}{3}=\frac{t}{3}-2,\quad z=\frac{t}{2}.
Tomando parâmetro \mu = t/2, obtemos
s:\;X=(-1,-2,0)+\mu\,(2,2,3).

Passo 3

Suponha que ℓ corte r em P e s em Q, ambos com coordenada z=c.
Para r temos
z_r=-1+4\lambda=c \quad\Longrightarrow\quad \lambda=\frac{c+1}{4},
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P=\bigl(1+\tfrac{c+1}{4},\,-1+2\tfrac{c+1}{4},\,c\bigr).
Para s temos
z_s=3\mu=c \quad\Longrightarrow\quad \mu=\frac{c}{3},
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Q=\bigl(-1+2\tfrac{c}{3},\,-2+2\tfrac{c}{3},\,c\bigr).

Passo 4

Como ℓ é paralela ao plano z=0, sua distância é \lvert c\rvert. Queremos \lvert c\rvert=3, ou seja c=3 ou c=-3.
– Para c=3: \lambda=(3+1)/4=1
P=(2,1,3), \mu=3/3=1
Q=(3,2,3).
O vetor direção de ℓ é
\overrightarrow{PQ}=(3-2,\,2-1,\,3-3)=(1,1,0).
– Para c=-3: \lambda=(-3+1)/4=-\tfrac12
P=\bigl(\tfrac12,-2,-3\bigr), \mu=-3/3=-1
Q=(-5,-6,-3),
e
\overrightarrow{PQ}=(-5-\tfrac12,\,-6+2,\,0)=\Bigl(-\tfrac{11}{2},-4,0\Bigr),\nequivalente a (11,8,0) por escala.

Passo 5

Portanto existem duas retas paralelas ao plano z=0 à distância 3 que cortam r e s:
  1. Para z=3:
\ell_1:\;X=(2,1,3)+t\,(1,1,0).
  1. Para z=-3:
\ell_2:\;X=\bigl(\tfrac12,-2,-3\bigr)+t\,(11,8,0).

Resposta

Uma das soluções (com z=3) é
\boxed{X=(2,1,3)+t\,(1,1,0).}
Outra, simetricamente, é
\boxed{X=\bigl(\tfrac12,-2,-3\bigr)+t\,(11,8,0).}

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