O conjunto
é simplesmente conexo?
Escolha uma opção:
a. Falso
b. Verdadeiro
Escolha uma opção:
a. Falso
b. Verdadeiro
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para saber se o conjunto $ B = \left{ (x, y) \in \mathbb{R}^{2} : x^{2} + y^{2} \leqslant 2 \right} \setminus [-1,1] \times {0} $ é simplesmente conexo. Isso está ligado ao conteúdo de topologia, mais especificamente sobre espaços simplesmente conexos. Para resolver, vamos precisar entender o que significa um espaço ser simplesmente conexo e analisar a estrutura do conjunto $ B $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço simplesmente conexo. Em termos simples, um espaço é simplesmente conexo se ele for conexo (ou seja, qualquer dois pontos podem ser ligados por um caminho dentro do espaço) e se todo caminho fechado (ou laço) pode ser continuamente contraído a um ponto dentro desse espaço.
Passo 3
Agora, vamos analisar o conjunto $ B $. Ele é formado por todos os pontos no plano que satisfazem $ x^{2} + y^{2} \leqslant 2 $ — ou seja, um disco de raio $ \sqrt{2} $ — menos o segmento de reta $ [-1,1] \times {0} $, que é basicamente a linha horizontal do ponto (-1,0) ao (1,0).
Passo 4
Visualizando isso, temos um disco com uma “rastela” ou “corte” na horizontal. Esse corte pode parecer que cria um “buraco” que impede os laços de serem contraídos, mas na verdade, como esse corte está em apenas uma linha reta, ele não cria um verdadeiro “obstáculo” ou “anel” que separaria o espaço de forma que os laços não pudessem ser contraídos.
Passo 5
Para entender melhor, pense que mesmo com o corte, qualquer laço que circunda o corte pode ser desfeito sem sair do conjunto $ B $, porque não há uma área fechada ao redor do corte que impeça essa contração. Isso caracteriza o conjunto $ B $ como simplesmente conexo.
Resposta
b. Verdadeiro