Dadas f e g determine f circ g.
f(x)=rlx^2, & se x<1, -x^3, & se x >= 2 g(x)=-x, & se x <= 2, 2 x, & se x >= 4

Passo 1

Na questão, a gente tem duas funções definidas por partes: f e g. O objetivo é achar (fcirc g)(x)=fl(g(x)r). Vamos usar a definição de composição de funções e tomar cuidado com os domínios, afinal cada pedaço de g pode levar a valores onde f não foi definido.

Passo 2

Primeiro identifique o domínio de g. Como g(x)=-x para x<=2 e g(x)=2x para $x
x

Passo 3

Em seguida, lembre que f está definida apenas se o argumento u=g(x) satisfaz u<1 (onde f(u)=u^2) ou u>=2 (onde f(u)=-u^3). Para g(x) em [1,2) não há definição de f. Então precisamos achar para quais x temos g(x)<1 ou g(x)>=2.

Passo 4

Divida agora em intervalos onde g muda de expressão e onde g(x) cruza 1 e 2:
  • Para x<=2, g(x)=-x.
    • Se x<= -2, então -x>=2 e cai em f(u)=-u^3. Logo f(g(x))= -(-x)^3 = x^3
    • Se -2< x<= -1, então 1< -x<2, mas f não está definida para uin(1,2): composição indisponível aí.
    • Se -1< x<=2, então -x<1 e cai em f(u)=u^2. Logo f(g(x)) = (-x)^2 = x^2
  • Para 2< x<4, g(x) não está definida, então f(g(x)) também não existe.
  • Para x>=4, g(x)=2x>=8, que é >=2, cai em f(u)=-u^3. Logo f(g(x)) = -(2x)^3 = -8x^3

Passo 5

Juntando tudo, temos a função composta definida só onde faz sentido, em três pedaços:
(fcirc g)(x)= x^3, & x<= -2, x^2, & -1< x<=2, -8x^3, & x>=4
E o domínio de fcirc g é
(-infty,-2]cup(-1,2]cup[4,infty)

Resposta

$ (f\circ g)(x)= (fcirc g)(x)=x^3,&x<= -2,x^2,&-1< x<=2,-8x^3,&x>=4,$ com domínio (-infty,-2]cup(-1,2]cup[4,infty).

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