Se F é um campo vetorial definido em um conjunto simplesmente conexo Omega então existe um campo escalar phi tal que nabla phi=F ?
Escolha uma opção:
a. Falso
b. Verdadeiro

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está perguntando sobre um campo vetorial F definido em um conjunto simplesmente conexo Omega. A questão quer saber se sempre existe um campo escalar phi tal que o gradiente de phi seja igual a F, ou seja, nabla phi = F. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de cálculo vetorial, como campos vetoriais conservativos, gradiente de um campo escalar e o que significa um conjunto ser simplesmente conexo.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o que é um conjunto simplesmente conexo. Um conjunto Omega no espaço é simplesmente conexo se não tem “buracos”. Isso significa que qualquer laço (ou curva fechada) dentro de Omega pode ser continuamente deformado para um ponto sem sair de Omega. Isso é importante porque determina certas propriedades dos campos vetoriais definidos nesse conjunto.

Passo 3

Agora, sobre campos vetoriais conservativos. Um campo vetorial F é dito ser conservativo se existe um campo escalar phi tal que F = nabla phi. O campo escalar phi é chamado de potencial de F. Para que um campo seja conservativo, ele precisa ser irrotacional, ou seja, ter curl igual a zero: nabla times F = 0.

Passo 4

No entanto, apenas o fato de o conjunto Omega ser simplesmente conexo não garante que qualquer campo vetorial definido nele seja conservativo. É preciso que o campo vetorial seja irrotacional além de estar definido em um conjunto simplesmente conexo. Portanto, sem a condição adicional de que F é irrotacional, não podemos afirmar que sempre existe um campo escalar phi tal que nabla phi = F.

Resposta

a. Falso

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