Se
é um campo vetorial definido em um conjunto simplesmente conexo
então existe um campo escalar
tal que
?
Escolha uma opção:
a. Falso
b. Verdadeiro
Escolha uma opção:
a. Falso
b. Verdadeiro
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está perguntando sobre um campo vetorial
definido em um conjunto simplesmente conexo
. A questão quer saber se sempre existe um campo escalar
tal que o gradiente de
seja igual a
, ou seja,
. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de cálculo vetorial, como campos vetoriais conservativos, gradiente de um campo escalar e o que significa um conjunto ser simplesmente conexo.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o que é um conjunto simplesmente conexo. Um conjunto
no espaço é simplesmente conexo se não tem “buracos”. Isso significa que qualquer laço (ou curva fechada) dentro de
pode ser continuamente deformado para um ponto sem sair de
. Isso é importante porque determina certas propriedades dos campos vetoriais definidos nesse conjunto.
Passo 3
Agora, sobre campos vetoriais conservativos. Um campo vetorial
é dito ser conservativo se existe um campo escalar
tal que
. O campo escalar
é chamado de potencial de
. Para que um campo seja conservativo, ele precisa ser irrotacional, ou seja, ter curl igual a zero:
.
Passo 4
No entanto, apenas o fato de o conjunto
ser simplesmente conexo não garante que qualquer campo vetorial definido nele seja conservativo. É preciso que o campo vetorial seja irrotacional além de estar definido em um conjunto simplesmente conexo. Portanto, sem a condição adicional de que
é irrotacional, não podemos afirmar que sempre existe um campo escalar
tal que
.
Resposta
a. Falso