(O Conjunto de Cantor) Em honra ao matemático alemão Georg Cantor (1845-1918), o Conjunto de Cantor é construído como a seguir. Partinmos do intervalo [0,1] e, num primeiro instante, removemos o intervalo aberto [0,1] correspondente ao seu terço médio. Isto nos leva a dois subintervalos disjuntos, K e . Num segundo instante, de cada destes dois subintervalos restantes, removemos seu terço médio aberto. Quatro intervalos permanecem e, num terceiro passo, novamente repetimos o processo. Assim, prosseguimos indefinidamente. O Conjunto de Cantor K consiste dos números de que permanecem após o processo descrito anteriormente. (a) Mostre que o comprimento total de todos os intervalos que foram removidos é 1. Observe que, apesar disso, contém infinitos números. (b) Dê exemplos de alguns
destes números.

Passo 1

A questão nos pede para (a) mostrar que o comprimento total removido na construção do Conjunto de Cantor é 1 e (b) dar exemplos de pontos que permanecem em K. O conteúdo principal envolve séries geométricas ao calcular o total removido e a interpretação via expansão ternária para escolher exemplos.

Passo 2

Na primeira remoção (etapa 1) tiramos o terço médio de [0,1], ou seja comprimento tfrac13. Na etapa 2 removemos dois intervalos de comprimento tfrac19, somando 2cdottfrac19=tfrac29. Em cada etapa n retiramos 2^n-1 intervalos de comprimento tfrac13^n, totalizando remoção de tfrac2^n-13^n.
Agora somamos todas as parcelas removidas:
sumn=1^infty2^n-13^n =sumn=1^infty13l(23r)^n-1 =1/31-2/3 =1

Passo 3

Portanto o comprimento total removido é 1. Apesar disso, K não fica vazio nem finito: um fato importante é que todo ponto de K tem expansão ternária que não usa o dígito 1. Isso garante infinitos pontos em K.
Alguns exemplos de elementos de K (todas as frações em base 3 só usam 0 e 2): 0, 1, tfrac13, tfrac23, tfrac29, tfrac79, e também pontos não-racionais como tfrac14 (que em base 3 é 0.020202…_3) ou 0.202020…_3 (que é tfrac25).

Resposta

(a) A soma dos comprimentos removidos é 1. (b) Exemplos de pontos em K: 0, 1, tfrac13, tfrac23, tfrac29, tfrac79, tfrac14 (0.020202…_3), 0.202020…_3 ( tfrac25), etc.

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