(O Conjunto de Cantor) Em honra ao matemático alemão Georg Cantor (1845-1918), o Conjunto de Cantor é construído como a seguir. Partinmos do intervalo
e, num primeiro instante, removemos o intervalo aberto
correspondente ao seu terço médio. Isto nos leva a dois subintervalos disjuntos,
e
. Num segundo instante, de cada destes dois subintervalos restantes, removemos seu terço médio aberto. Quatro intervalos permanecem e, num terceiro passo, novamente repetimos o processo. Assim, prosseguimos indefinidamente. O Conjunto de Cantor K consiste dos números de
que permanecem após o processo descrito anteriormente. (a) Mostre que o comprimento total de todos os intervalos que foram removidos é 1. Observe que, apesar disso,
contém infinitos números. (b) Dê exemplos de alguns
destes números.
destes números.
Passo 1
A questão nos pede para (a) mostrar que o comprimento total removido na construção do Conjunto de Cantor é 1 e (b) dar exemplos de pontos que permanecem em K. O conteúdo principal envolve séries geométricas ao calcular o total removido e a interpretação via expansão ternária para escolher exemplos.
Passo 2
Na primeira remoção (etapa 1) tiramos o terço médio de [0,1], ou seja comprimento
. Na etapa 2 removemos dois intervalos de comprimento
, somando
. Em cada etapa
retiramos
intervalos de comprimento
, totalizando remoção de
.
Agora somamos todas as parcelas removidas:
Agora somamos todas as parcelas removidas:
Passo 3
Portanto o comprimento total removido é 1. Apesar disso, K não fica vazio nem finito: um fato importante é que todo ponto de K tem expansão ternária que não usa o dígito 1. Isso garante infinitos pontos em K.
Alguns exemplos de elementos de K (todas as frações em base 3 só usam 0 e 2): 0, 1, ,
,
,
, e também pontos não-racionais como
(que em base 3 é 0.020202…_3) ou 0.202020…_3 (que é
).
Alguns exemplos de elementos de K (todas as frações em base 3 só usam 0 e 2): 0, 1,
Resposta
(a) A soma dos comprimentos removidos é
. (b) Exemplos de pontos em K: 0, 1,
,
,
,
,
(0.020202…_3), 0.202020…_3 (
), etc.