Use a definição de derivada para provar que f^prime(s)=-1 / s^2 se f(s)=1 / s, com s neq 0.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, usando a definição de derivada, que para a função f(s)=1/s (com sneq0) vale f'(s)=-1/s^2. Vamos usar o conceito de derivada como limite do quociente incremental.

Passo 2

Escrevemos a definição de derivada:
f'(s)=limhto0f(s+h)-f(s)h
Substituindo f(s)=1/s obtemos o quociente
f(s+h)-f(s)h=1s+h-1sh

Passo 3

Para simplificar o numerador, fazemos diferença de frações com denominador comum s(s+h):
1s+h-1s=s - (s+h)s(s+h)=-hs(s+h)

Passo 4

Substituindo de volta no quociente incremental:
f(s+h)-f(s)h=-h/(s(s+h))h=-1s(s+h)

Passo 5

Agora basta tomar o limite quando hto0:
f'(s)=limhto0l(-1s(s+h)r)=-1s,(s+0)=-1s^2

Resposta

f'(s)=-1/s^2

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