Resolva as equações homogêneas que encontrar na lista abaixo. Para isto, faça a mudança v=y / x e note que y^prime=v^prime x+v. (Se não for homogênea, não resolva).
x y+1+y^{2} y^{\prime}=0

Passo 1

Temos a equação diferencial x y + 1 + y^2 y' = 0. O objetivo é resolver equações homogêneas de primeira ordem usando a substituição v = y/x.

Passo 2

Reescrevendo em forma diferencial: multiplicando por dx obtemos
y^2,dy + (x y + 1),dx = 0
Aqui M(x,y)=x y + 1 e N(x,y)=y^2.

Passo 3

Verificamos a homogeneidade: M(x,y)=xy+1 não é homogênea (mistura termos de grau 2 e grau 0), enquanto N(x,y)=y^2 é homogênea de grau 2. Como M e N não têm o mesmo grau, a equação não é homogênea.

Resposta

A equação não é homogênea e, portanto, não se aplica o método de substituição v=y/x; não resolvemos.

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