Desenhe em uma célula cúbica os seguintes planos cristalográficos: (100); (111); (1 10 ); (123).

Passo 1

O que o enunciado pede e quais dados temos (assunções):
  • Pedem para desenhar, dentro de uma célula cúbica, os planos cristalográficos de Miller indicados: (100), (111), (1 10 ) e (123).
  • Vou assumir que a célula é um cubo de aresta \,a\,, com origem em um vértice da célula e eixos ortogonais ao longo das arestas (eixo x, y, z).
  • Interpreto (1\\\ 10) como (1\,1\,0) (o enunciado tinha um espaço; não foi indicado sinal negativo).
  • O objetivo prático: para cada plano indicar os pontos de interseção com os eixos da célula e explicar passo a passo como marcar esses pontos na projeção da célula e ligar para obter o plano que deve ser sombreado/desenhado.

Passo 2

Breve aula (essencial) sobre índices de Miller e como obter os interceptos (explicação bem passo a passo).
  • Definição prática: o plano indicado por índices de Miller (h\,k\,l) intercepta os eixos cristalográficos em coordenadas (medidas a partir da origem)
\left(\frac{a}{h},\\ \frac{a}{k},\\ \frac{a}{l}\right)
quando h,k,l são todos não nulos.
  • Interpretação e exceções:
    • Se um índice for 0 (por exemplo (1\,1\,0)), o correspondente intercepto é infinito; isso significa que o plano é paralelo ao eixo correspondente.
    • Se algum índice for negativo usa-se a barra por cima (ex.: \bar{1}) e o intercepto fica no sentido negativo do eixo; aqui não temos negativos.
    • Se os três índices tiverem um fator comum (por exemplo (2\,2\,2)), reduz-se para (1\,1\,1) — plano equivalente.
  • Razoamento físico: a razão entre índices e interceptos vem da definição: índices são proporcionais aos recíprocos dos interceptos em unidades de \,a.

Passo 3

Como desenhar uma célula cúbica em projeção (instruções para quem vai riscar no papel — dica prática):
  • Desenhe um cubo em perspectiva isométrica simples: um quadrado frontal e outro quadrado deslocado para cima/direita, conecte vértices correspondentes.
  • Marque o vértice mais próximo como origem (0,0,0). As arestas que saem dele ao longo da frente, para a direita e para cima são os eixos x, y, z.
  • Marque nas arestas comprimentos correspondentes a a. Para pontos como a/2 ou a/3, divida a aresta em 2 ou 3 partes iguais e marque a fração correspondente.
  • Regra prática: pontos do tipo (\text{valor em }x,\\\ 0,\\\ 0) ficam sobre a aresta x que liga (0,0,0) a (a,0,0). Pontos (0,\\ \text{valor em }y,\\\ 0) ficam sobre a aresta y que liga (0,0,0) a (0,a,0), e assim por diante.
  • Depois de marcar os três interceptos do plano com os eixos (quando finitos), ligue-os: o polígono formado (normalmente um triângulo ou um retângulo dentro da célula) é a parte do plano contida na célula. Se o plano for paralelo a um eixo, encontre as interseções com as arestas da célula para traçar o polígono correspondente.

Passo 4

Plano (1\,0\,0): cálculo e desenho passo a passo.
  • Interpretação dos índices: h=1,\\ k=0,\\ l=0.
  • Aplicando a regra dos interceptos:
\text{interceptos}=\left(\frac{a}{1},\\ \frac{a}{0},\\ \frac{a}{0}\right)=\left(a,\\ \infty,\\ \infty\right).
  • Significado geométrico: o plano é paralelo aos eixos y e z e corta o eixo x em x=a. Ou seja, é a face da célula perpendicular ao eixo x (a face lateral).
  • Como desenhar:
    1. No cubo, localize a face com coordenada x=a (a face oposta àquela que contém a origem).
    2. Sombreie ou trace essa face inteira: é um quadrado com vértices (a,0,0),\\ (a,a,0),\\ (a,a,a),\\ (a,0,a).
  • Observação prática: (1\,0\,0) representa exatamente a face do cubo; é um caso simples.

Passo 5

Plano (1\,1\,1): cálculo e desenho passo a passo.
  • Interpretação: h=1,\\ k=1,\\ l=1.
  • Interceptos:
\left(\frac{a}{1},\\ \frac{a}{1},\\ \frac{a}{1}\right)=(a,\\ a,\\ a).
  • Pontos de interseção com os eixos (em coordenadas cartesianas):
    • com o eixo x: (a,0,0),
    • com o eixo y: (0,a,0),
    • com o eixo z: (0,0,a).
  • Como desenhar:
    1. Marque os três pontos citados nas três arestas que saem da origem.
    2. Una esses três pontos; o polígono dentro da célula é um triângulo com vértices (a,0,0),\\ (0,a,0),\\ (0,0,a).
    3. Esse triângulo corta o canto da célula junto à origem (é a face de um tetraedro que tem a origem como quarto vértice).
  • Dica visual: na projeção isométrica, esses três pontos ficam em três arestas distintas e o triângulo aparece “inclinadinho” atravessando a célula.

Passo 6

Plano (1\,1\,0): cálculo e desenho passo a passo.
  • Interpretação: h=1,\\ k=1,\\ l=0.
  • Interceptos:
\left(\frac{a}{1},\\ \frac{a}{1},\\ \frac{a}{0}\right)=(a,\\ a,\\ \infty).
  • Significado geométrico: o plano corta os eixos x e y em a e é paralelo ao eixo z. Portanto o plano é perpendicular ao vetor normal [1\,1\,0] e dentro da célula aparece como um retângulo (ou um paralelogramo) que atravessa a célula paralelo a z.
  • Pontos úteis para desenhar (interseções com arestas da célula):
    • Na face inferior z=0 o segmento de interseção vai de (a,0,0) até (0,a,0) — é a diagonal da face z=0.
    • Na face superior z=a o segmento correspondente vai de (a,0,a) até (0,a,a) — diagonal da face z=a.
    • Juntando esses dois segmentos obtém-se um paralelogramo de quatro vértices (a,0,0),\\ (0,a,0),\\ (0,a,a),\\ (a,0,a). Dentro da célula isto é um retângulo inclinado (para a célula cúbica).
  • Como desenhar:
    1. Marque (a,0,0) e (0,a,0) na face inferior e desenhe a diagonal entre eles.
    2. Marque (a,0,a) e (0,a,a) na face superior e desenhe a diagonal entre eles.
    3. Conecte os extremos correspondentes verticalmente para fechar o paralelogramo; esse é o plano (1\,1\,0) cortando a célula.

Passo 7

Plano (1\,2\,3): cálculo e desenho passo a passo.
  • Interpretação: h=1,\\ k=2,\\ l=3.
  • Interceptos:
\left(\frac{a}{1},\\ \frac{a}{2},\\ \frac{a}{3}\right)=\left(a,\\ \frac{a}{2},\\ \frac{a}{3}\right).
  • Pontos de interseção com os eixos:
    • com x: (a,0,0),
    • com y: \left(0,\dfrac{a}{2},0\right) — marque na aresta y o meio,
    • com z: \left(0,0,\dfrac{a}{3}\right) — marque na aresta z a terça parte a partir da origem.
  • Como desenhar:
    1. No cubo, divida a aresta y partindo da origem em 2 partes iguais e marque \dfrac{a}{2}.
    2. Divida a aresta z em 3 partes iguais e marque \dfrac{a}{3}.
    3. Marque também (a,0,0) na aresta x.
    4. Una os três pontos (a,0,0), \left(0,\dfrac{a}{2},0\right) e \left(0,0,\dfrac{a}{3}\right). O polígono dentro da célula é um triângulo que representa a porção do plano (1\,2\,3) dentro da célula.
  • Observação: se preferir maior precisão geométrica, trace as interseções do plano com as arestas adjacentes (por exemplo, ache interseção com aresta que vai de (a,0,0) a (a,a,0) etc.), mas para a maioria dos esboços basta ligar os três interceptos com os eixos.

Passo 8

Verificação por normal do plano e dicas finais para o esboço (controle de consistência).
  • Vetor normal: os índices (h\,k\,l) são proporcionais às componentes do vetor normal ao plano; por exemplo:
    • para (1\,1\,1) o normal é paralelo a [1\,1\,1],
    • para (1\,1\,0) o normal é paralelo a [1\,1\,0].
      Isso ajuda a checar a inclinação do plano: se o normal aponta para um canto específico, o plano está orientado corretamente.
  • Dicas práticas para desenhar limpo:
    • Use linhas tracejadas para as arestas do cubo que ficam atrás (para dar sensação 3D).
    • Primeiro marque todos os pontos de interseção nas arestas; só então una-os.
    • Se precisar de exatidão, trabalhe em coordenadas fracionárias do lado \,a\, (por exemplo marque \tfrac{1}{2} ou \tfrac{1}{3} da aresta com régua).
    • Treine desenhando primeiro (1\,0\,0) e (1\,1\,0) que são casos simples, depois passe para (1\,1\,1) e (1\,2\,3).

Passo 9

Resumo rápido do que desenhar para cada plano (pronto para conferir enquanto risca):
  • Para (1\,0\,0): sombreie a face x=a.
  • Para (1\,1\,1): desenhe o triângulo com vértices (a,0,0),\\ (0,a,0),\\ (0,0,a).
  • Para (1\,1\,0): desenhe o paralelogramo/retângulo juntando as diagonais das faces z=0 e z=a (vértices (a,0,0),\\ (0,a,0),\\ (0,a,a),\\ (a,0,a)).
  • Para (1\,2\,3): desenhe o triângulo com vértices (a,0,0),\\ \left(0,\tfrac{a}{2},0\right),\\ \left(0,0,\tfrac{a}{3}\right).

Resposta

(1\,0\,0): interceptos \left(a,\infty,\infty\right) → plano x=a (face da célula).
(1\,1\,1): interceptos (a,a,a) → triângulo com vértices (a,0,0),\\ (0,a,0),\\ (0,0,a).
(1\,1\,0): interceptos (a,a,\infty) → paralelogramo com vértices (a,0,0),\\ (0,a,0),\\ (0,a,a),\\ (a,0,a).
(1\,2\,3): interceptos \left(a,\tfrac{a}{2},\tfrac{a}{3}\right) → triângulo com vértices (a,0,0),\\ \left(0,\tfrac{a}{2},0\right),\\ \left(0,0,\tfrac{a}{3}\right).

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