Desenhe em uma célula cúbica os seguintes planos cristalográficos: (100); (111); (1 10 ); (123).
Passo 1
O que o enunciado pede e quais dados temos (assunções):
- Pedem para desenhar, dentro de uma célula cúbica, os planos cristalográficos de Miller indicados: (100), (111), (1 10 ) e (123).
- Vou assumir que a célula é um cubo de aresta
, com origem em um vértice da célula e eixos ortogonais ao longo das arestas (eixo , , ). - Interpreto
como (o enunciado tinha um espaço; não foi indicado sinal negativo). - O objetivo prático: para cada plano indicar os pontos de interseção com os eixos da célula e explicar passo a passo como marcar esses pontos na projeção da célula e ligar para obter o plano que deve ser sombreado/desenhado.
Passo 2
Breve aula (essencial) sobre índices de Miller e como obter os interceptos (explicação bem passo a passo).
- Definição prática: o plano indicado por índices de Miller
intercepta os eixos cristalográficos em coordenadas (medidas a partir da origem)
quando
são todos não nulos.
- Interpretação e exceções:
- Se um índice for
(por exemplo ), o correspondente intercepto é infinito; isso significa que o plano é paralelo ao eixo correspondente. - Se algum índice for negativo usa-se a barra por cima (ex.:
) e o intercepto fica no sentido negativo do eixo; aqui não temos negativos. - Se os três índices tiverem um fator comum (por exemplo
), reduz-se para — plano equivalente.
- Se um índice for
- Razoamento físico: a razão entre índices e interceptos vem da definição: índices são proporcionais aos recíprocos dos interceptos em unidades de
.
Passo 3
Como desenhar uma célula cúbica em projeção (instruções para quem vai riscar no papel — dica prática):
- Desenhe um cubo em perspectiva isométrica simples: um quadrado frontal e outro quadrado deslocado para cima/direita, conecte vértices correspondentes.
- Marque o vértice mais próximo como origem
. As arestas que saem dele ao longo da frente, para a direita e para cima são os eixos , , . - Marque nas arestas comprimentos correspondentes a
. Para pontos como ou , divida a aresta em 2 ou 3 partes iguais e marque a fração correspondente. - Regra prática: pontos do tipo
ficam sobre a aresta que liga a . Pontos ficam sobre a aresta que liga a , e assim por diante. - Depois de marcar os três interceptos do plano com os eixos (quando finitos), ligue-os: o polígono formado (normalmente um triângulo ou um retângulo dentro da célula) é a parte do plano contida na célula. Se o plano for paralelo a um eixo, encontre as interseções com as arestas da célula para traçar o polígono correspondente.
Passo 4
Plano
: cálculo e desenho passo a passo.
- Interpretação dos índices:
. - Aplicando a regra dos interceptos:
- Significado geométrico: o plano é paralelo aos eixos
e e corta o eixo em . Ou seja, é a face da célula perpendicular ao eixo (a face lateral). - Como desenhar:
- No cubo, localize a face com coordenada
(a face oposta àquela que contém a origem). - Sombreie ou trace essa face inteira: é um quadrado com vértices
.
- No cubo, localize a face com coordenada
- Observação prática:
representa exatamente a face do cubo; é um caso simples.
Passo 5
Plano
: cálculo e desenho passo a passo.
- Interpretação:
. - Interceptos:
- Pontos de interseção com os eixos (em coordenadas cartesianas):
- com o eixo
: , - com o eixo
: , - com o eixo
: .
- com o eixo
- Como desenhar:
- Marque os três pontos citados nas três arestas que saem da origem.
- Una esses três pontos; o polígono dentro da célula é um triângulo com vértices
. - Esse triângulo corta o canto da célula junto à origem (é a face de um tetraedro que tem a origem como quarto vértice).
- Dica visual: na projeção isométrica, esses três pontos ficam em três arestas distintas e o triângulo aparece “inclinadinho” atravessando a célula.
Passo 6
Plano
: cálculo e desenho passo a passo.
- Interpretação:
. - Interceptos:
- Significado geométrico: o plano corta os eixos
e em e é paralelo ao eixo . Portanto o plano é perpendicular ao vetor normal e dentro da célula aparece como um retângulo (ou um paralelogramo) que atravessa a célula paralelo a . - Pontos úteis para desenhar (interseções com arestas da célula):
- Na face inferior
o segmento de interseção vai de até — é a diagonal da face . - Na face superior
o segmento correspondente vai de até — diagonal da face . - Juntando esses dois segmentos obtém-se um paralelogramo de quatro vértices
. Dentro da célula isto é um retângulo inclinado (para a célula cúbica).
- Na face inferior
- Como desenhar:
- Marque
e na face inferior e desenhe a diagonal entre eles. - Marque
e na face superior e desenhe a diagonal entre eles. - Conecte os extremos correspondentes verticalmente para fechar o paralelogramo; esse é o plano
cortando a célula.
- Marque
Passo 7
Plano
: cálculo e desenho passo a passo.
- Interpretação:
. - Interceptos:
- Pontos de interseção com os eixos:
- com
: , - com
: — marque na aresta o meio, - com
: — marque na aresta a terça parte a partir da origem.
- com
- Como desenhar:
- No cubo, divida a aresta
partindo da origem em 2 partes iguais e marque . - Divida a aresta
em 3 partes iguais e marque . - Marque também
na aresta . - Una os três pontos
, e . O polígono dentro da célula é um triângulo que representa a porção do plano dentro da célula.
- No cubo, divida a aresta
- Observação: se preferir maior precisão geométrica, trace as interseções do plano com as arestas adjacentes (por exemplo, ache interseção com aresta que vai de
a etc.), mas para a maioria dos esboços basta ligar os três interceptos com os eixos.
Passo 8
Verificação por normal do plano e dicas finais para o esboço (controle de consistência).
- Vetor normal: os índices
são proporcionais às componentes do vetor normal ao plano; por exemplo: - para
o normal é paralelo a , - para
o normal é paralelo a .
Isso ajuda a checar a inclinação do plano: se o normal aponta para um canto específico, o plano está orientado corretamente.
- para
- Dicas práticas para desenhar limpo:
- Use linhas tracejadas para as arestas do cubo que ficam atrás (para dar sensação 3D).
- Primeiro marque todos os pontos de interseção nas arestas; só então una-os.
- Se precisar de exatidão, trabalhe em coordenadas fracionárias do lado
(por exemplo marque ou da aresta com régua). - Treine desenhando primeiro
e que são casos simples, depois passe para e .
Passo 9
Resumo rápido do que desenhar para cada plano (pronto para conferir enquanto risca):
- Para
: sombreie a face . - Para
: desenhe o triângulo com vértices . - Para
: desenhe o paralelogramo/retângulo juntando as diagonais das faces e (vértices ). - Para
: desenhe o triângulo com vértices .