O conjunto de dados representa o tempo (em minutos) gasto verificando e-mail para uma amostra aleatória de funcionários de uma empresa. Suponha que os tempos são normalmente distribuídos
7,5 2,0 12,1 8,8 9,4 7,3 1,9 2,8 7,0 7,3
© Construa um intervalo de confiança de 95 % para a variância populacional.

Passo 1

Beleza, olha só o que a questão pediu: a gente tem uma amostra de 10 tempos (em minutos) que segue distribuição normal, e querem um intervalo de confiança de 95% para a variância da população. Isso faz parte de Inferência Estatística, mais especificamente de estimativa por intervalos quando o dado é normal.
O que vamos precisar:
  1. Calcular a variância amostral s^2.
  2. Saber que, se os dados são normais, a estatística
(n-1),s^2sigma^2
segue uma distribuição qui-quadrado com n-1 graus de liberdade.
3) Consultar na tabela de chi^2 os quantis de 2,5% e 97,5% para df=9.
4) Montar o intervalo usando a fórmula do CI para variância.

Passo 2

Primeiro, calculamos a média amostral bar x. Somando os 10 valores:
7,5 + 2,0 + 12,1 + 8,8 + 9,4 + 7,3 + 1,9 + 2,8 + 7,0 + 7,3 = 66,1
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bar x = 66,110 = 6,61 min

Passo 3

Agora, pra variância amostral s^2, usamos
s^2 = 1n-1 sumi=1^n(xi - bar x)^2
Substituindo e somando os quadrados dos desvios, a gente chega em
sum (xi - bar x)^2 approx 102,57
e como n-1=9,
s^2 = 102,579 approx 11,40 (min^2)

Passo 4

Precisamos dos valores críticos da distribuição chi^2 com 9 graus de liberdade para alpha/2=0,025.
Na tabela:
chi^20,975,,9 approx 19,02, chi^20,025,,9 approx 2,70

Passo 5

A fórmula do intervalo de confiança para sigma^2 é
Pl(chi^20,975,,9 <= 9,s^2sigma^2 <= chi^20,025,,9r)=0,95
Invertendo, o intervalo fica
$$\left[;\frac{9,s2}{\chi2_{0{,}025,9}};,;\frac{9,s2}{\chi2_{0{,}975,9}};\right]
=\left[;\frac{9\cdot11{,}40}{19{,}02};,;\frac{9\cdot11{,}40}{2{,}70};\right]
\approx [5{,}39,;37{,}99].$$

Resposta

O intervalo de confiança de 95% para a variância populacional é aproximadamente
boxed5,39 ;<=;sigma^2;<=;37,99 (min^2)

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