O conjunto de dados a seguir, na Tabela 1, refere-se a um estudo estatístico sobre duas variáveis X e Y correlacionadas. Sabendo que a equação de regressão linear para esse estudo de correlação é \hat{y}=1,1987 \cdot x+6,232 e que o erro padrão da mostra é 4,761083. Pede-se: Determine o intervalo de previsão para f(14) com 95 \% de confiança. (Valor 1,0)
Tabela 1 - Dados agrupados da pesquisa com as variáveis X e Y.
Par X Y X.Y \mathrm{X}^{2} \mathrm{Y}^{2} \hat{\mathbf{Y}}
A 8 18 144 64 324 15,8216
B 4 11 44 16 121 11,0268
C 15 29 435 225 841 24,2125
D 7 18 126 49 324 14,6229
E 6 14 84 36 196 13,4242
F 3 8 24 9 64 9,8281
G 12 10 120 144 100 20,6164
H 10 20 200 100 400 18,219
i 5 12 60 25 144 12,2255
\Sigma 1237 668 2514

  1. { }^{1} Entrega antecipada da parte escrita.
    { }^{2} Deixar de entregar no AVA as planilhas do Excel dos trabalhos.
    { }^{3} Autorizado a consulta a um formulário individual manuscrito sem notas explicativas, desenhos e identificação de parâmetros.

Passo 1

O enunciado fornece uma reta de regressão
\hat y = 1,1987\,x + 6,232
com erro padrão da amostra S_e = 4,761083, e pede o intervalo de previsão de Y para x_0 = 14 com 95\% de confiança. Vamos usar a fórmula do intervalo de predição individual:
\hat y_0 \pm t_{\alpha/2,\,n-2}\;S_e \,\sqrt{1 + \frac{1}{n} + \frac{(x_0 - \bar x)^2}{S_{xx}}}
onde n=9 e t_{0,025,7} é o quantil da Student com 7 graus de liberdade.

Passo 2

Calcular a média das X e S_{xx}:
\bar x = \frac{\sum x_i}{n} = \frac{70}{9} \approx 7,778, \qquad S_{xx} = \sum (x_i - \bar x)^2 = \sum x_i^2 - n\,\bar x^2 = 668 - 9\bigl(\tfrac{70}{9}\bigr)^2 \approx 123,556.

Passo 3

Calcular a predição pontual em x_0=14:
\hat y_0 = 1,1987 \times 14 + 6,232 \approx 23,014.

Passo 4

Os graus de liberdade são n-2 = 7. Pelo quadro da t-Student,
t_{0,025,7} \approx 2,365.

Passo 5

Calcular o fator de expansão:
\sqrt{1 + \frac{1}{9} + \frac{(14 - 7,778)^2}{123,556}} = \sqrt{1 + 0,1111 + 0,3135} = \sqrt{1,4246} \approx 1,194.
Multiplicando por S_e:
4,761083 \times 1,194 \approx 5,683.
E então o erro de predição total:
2,365 \times 5,683 \approx 13,438.

Passo 6

Construir o intervalo de previsão:
23,014 \pm 13,438 \quad\Longrightarrow\quad [23,014 - 13,438,\;23,014 + 13,438] \approx [9,576,\;36,452].

Resposta

O intervalo de previsão para f(14) com 95\% de confiança é aproximadamente
[9,576,\;36,452].

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