Questão 02. DISTRIBUIÇÃO NORMAL (2,50 pts) Os salários mensais dos executivos de uma determinada indústria são distribuídos normalmente, em torno da média de R$ 10.000,00com desvio padrão de R$ 500,00. Calcule a probabilidade de um executivo ter um salário mensal situado entre R \ 9.800,00 e R$10.400,00$.

Passo 1

O enunciado diz que o salário mensal X de um executivo segue uma distribuição normal com média \mu = 10000 e desvio-padrão \sigma = 500. Queremos calcular
P\bigl(9800 \le X \le 10400\bigr).
Para isso, vamos usar o processo de padronização e tabelas da normal padrão.

Passo 2

Definimos a variável padronizada
Z = \frac{X - \mu}{\sigma},
que segue a distribuição normal padrão N(0,1). Assim, os limites se tornam
z_1 = \frac{9800 - 10000}{500} = -0{,}4, \quad z_2 = \frac{10400 - 10000}{500} = 0{,}8.

Passo 3

Em termos de Z, a probabilidade desejada é
P\bigl(9800 \le X \le 10400\bigr) = P\bigl(z_1 \le Z \le z_2\bigr) = \Phi(0{,}8) - \Phi(-0{,}4),
onde \Phi é a função de distribuição acumulada da normal padrão.

Passo 4

Usamos a simetria da normal padrão para obter \Phi(-0{,}4):
\Phi(-0{,}4) = 1 - \Phi(0{,}4).
Consultando a tabela, temos
\Phi(0{,}4) = 0{,}6554 e \Phi(0{,}8) = 0{,}7881.
Logo,
\Phi(-0{,}4) = 1 - 0{,}6554 = 0{,}3446.

Passo 5

Subtraindo os valores:
P\bigl(9800 \le X \le 10400\bigr) = 0{,}7881 - 0{,}3446 = 0{,}4435.

Resposta

A probabilidade é aproximadamente 0{,}4435, ou seja, 44{,}35\%.

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