Questão 03. INTERVALO DE CONFIANÇA -MÉDIA ( \mathbf{2 , 5 0} pts) A fim de se controlar a temperatura ambiente de uma fábrica, mediu-se a temperatura em 45 ocasiões e encontrou-se a temperatura média de 26 graus Celsius e desvio padrão de 1,70 graus Celsius.
Perguntas: a) Determine um intervalo de confiança (IC) para a temperatura média com 95 \% de confiança.
b) Se a fábrica exige que o erro não seja superior a 0,60 graus Celsius, em quantas medições deverá ser medida a temperatura com 98,98 \% de confiança?

Passo 1

O enunciado nos dá uma amostra de tamanho n=45 com média amostral \bar{x}=26 \circC e desvio-padrão amostral s=1,70 \circC.
a) Pede um intervalo de confiança de 95\% para a média populacional.
b) Quer o tamanho da amostra necessário para que, com 98{,}98\% de confiança, o erro máximo (meia-amplitude do IC) seja E=0{,}60 \circC.
Para (a) usamos a distribuição t (amostra razoavelmente grande, mas s é estimado) e para (b) usamos a distribuição normal (tamanho desconhecido, mas n será grande).

Passo 2

(a) Intervalo de confiança de 95\% para a média com distribuição t:
Usamos
\text{IC} = \bar{x} \pm t_{\,\frac{\alpha}{2},\,\nu}\,\frac{s}{\sqrt{n}},
onde \alpha=0{,}05, \nu=n-1=44, e t_{0{,}025,44} é o valor crítico de t para área de cauda 2{,}5\% em cada lado.

Passo 3

Consultando tabela de t ou software,
t_{0{,}025,44}\approx 2{,}015.
O erro padrão da média é
\mathrm{SE} = \frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{1{,}70}{\sqrt{45}}\approx 0{,}2534.
Logo a meia-amplitude do IC é
E_{95\%} = 2{,}015 \times 0{,}2534 \approx 0{,}511.
Portanto
\text{IC}_{95\%} = 26 \pm 0{,}511 = (25{,}489,\;26{,}511).

Passo 4

(b) Para determinar n dado E=0{,}60 \circC e nível de confiança 98{,}98\%:
  • Aqui usamos a distribuição normal, pois o n será grande.
  • O nível de significância é \alpha=1-0{,}9898=0{,}0102, então \alpha/2=0{,}0051.
  • O valor crítico é z_{1-\alpha/2}=z_{0,9949}\approx 2{,}57.
    A fórmula do erro máximo é
E = z_{1-\alpha/2}\,\frac{s}{\sqrt{n}} \quad\Longrightarrow\quad n = \left(\frac{z_{1-\alpha/2}\,s}{E}\right)^{2}.

Passo 5

Substituindo z_{1-\alpha/2}\approx2{,}57, s=1{,}70 e E=0{,}60:
n = \biggl(\frac{2{,}57 \times 1{,}70}{0{,}60}\biggr)^{2} = \bigl(2{,}57 \times 2{,}8333\bigr)^{2} \approx (7{,}2833)^{2} \approx 53{,}05.
Como n deve ser inteiro e para garantir o erro máximo, tomamos
n = 54.

Resposta

a) \displaystyle (25{,}49,\;26{,}51) graus Celsius.
b) São necessárias n=54 medições.

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