Dê o conjunto domínio e imagem das seguintes funções recíprocas
Passo 1
O enunciado pede duas coisas sobre a função
As perguntas explícitas são:
- Qual é o conjunto domínio (os valores de
permitidos)? - Qual é o conjunto imagem (os valores que
pode assumir)?
Informações relevantes dadas:
- A função está escrita como uma fração cujo denominador é
. - Presumimos que a função está sendo considerada sobre os números reais (entrada e saída reais).
Passo 2
Conceito rápido e passo a passo sobre domínio:
- O domínio de uma função racional (uma fração de polinômios) é o conjunto de todos os
reais para os quais a expressão faz sentido. - A expressão de uma fração não faz sentido quando o denominador é zero.
- Aqui o denominador é
. Então devemos exigir
- Resolvendo isso obtemos
Isto quer dizer que todos os números reais são permitidos como entrada, exceto
(porque aí a função não está definida).
(Dica prática: sempre verifique denominadores, raízes pares dentro de radicais e logaritmos — eles também impõem restrições.)
Passo 3
Agora vamos encontrar a imagem (conjunto de valores possíveis para
). Estratégia didática:
- Para saber quais valores
podem aparecer como , escrevemos e tentamos resolver para em termos de . Se para um dado existir um do domínio que gere esse , então pertence à imagem.
Começamos:
Multiplicamos ambos os lados por
(lembrando que isso só é válido para
, já tratado no domínio):
Desenvolvendo:
Agrupando os termos com
de um lado:
Fatorando
:
Finalmente, isolamos
:
desde que o denominador da direita não seja zero, isto é, desde que
Passo 4
Interpretação do que obtivemos:
- A expressão
mostra que, para qualquer diferente de , existe um (especificamente esse valor) que produz esse como saída de . - Devemos também garantir que esse
encontrado pertença ao domínio (ou seja, que não seja ). Verificamos rapidamente se essa fórmula pode dar :
o que leva a
, contradição. Portanto a fórmula nunca dá
. Logo, para todo
existe um
no domínio que produz
.
- E para
? Se tentarmos na equação inicial,
temos
, que é impossível. Logo não existe
que produza
.
Conclusão lógica: todos os reais são atingidos como valores de
, exceto
.
Observação extra (útil para prova): a função tem assíntota horizontal
(pois para
a razão dos coeficientes do termo de maior grau é
) e essa assíntota não é atingida por nenhum ponto da função — por isso
fica fora da imagem. Também note que, resolvendo
em função de
e invertendo a relação obtivemos a mesma forma racional, o que mostra que
é sua própria inversa (isto é,
), o que explica por que domínio e imagem coincidem como conjuntos.
Resposta
Domínio:
Imagem:
Imagem: