Dê o conjunto domínio e imagem das seguintes funções recíprocas
\quad g(x)=\frac{2 x-5}{x-2}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas sobre a função
g(x)=\frac{2x-5}{x-2}.
As perguntas explícitas são:
  • Qual é o conjunto domínio (os valores de x permitidos)?
  • Qual é o conjunto imagem (os valores que g(x) pode assumir)?
Informações relevantes dadas:
  • A função está escrita como uma fração cujo denominador é (x-2).
  • Presumimos que a função está sendo considerada sobre os números reais (entrada e saída reais).

Passo 2

Conceito rápido e passo a passo sobre domínio:
  • O domínio de uma função racional (uma fração de polinômios) é o conjunto de todos os x reais para os quais a expressão faz sentido.
  • A expressão de uma fração não faz sentido quando o denominador é zero.
  • Aqui o denominador é (x-2). Então devemos exigir
x-2 \neq 0.
  • Resolvendo isso obtemos
x \neq 2.
Isto quer dizer que todos os números reais são permitidos como entrada, exceto x=2 (porque aí a função não está definida).
(Dica prática: sempre verifique denominadores, raízes pares dentro de radicais e logaritmos — eles também impõem restrições.)

Passo 3

Agora vamos encontrar a imagem (conjunto de valores possíveis para g(x)). Estratégia didática:
  • Para saber quais valores y podem aparecer como g(x), escrevemos y=g(x) e tentamos resolver para x em termos de y. Se para um dado y existir um x do domínio que gere esse y, então y pertence à imagem.
Começamos:
y=\frac{2x-5}{x-2}.
Multiplicamos ambos os lados por (x-2) (lembrando que isso só é válido para x\neq2, já tratado no domínio):
y(x-2)=2x-5.
Desenvolvendo:
yx-2y=2x-5.
Agrupando os termos com x de um lado:
yx-2x=2y-5.
Fatorando x:
x(y-2)=2y-5.
Finalmente, isolamos x:
x=\frac{2y-5}{y-2},
desde que o denominador da direita não seja zero, isto é, desde que
y-2\neq 0 \quad\Longrightarrow\quad y\neq 2.

Passo 4

Interpretação do que obtivemos:
  • A expressão x=\dfrac{2y-5}{y-2} mostra que, para qualquer y diferente de 2, existe um x (especificamente esse valor) que produz esse y como saída de g.
  • Devemos também garantir que esse x encontrado pertença ao domínio (ou seja, que não seja 2). Verificamos rapidamente se essa fórmula pode dar x=2:
\frac{2y-5}{y-2}=2 \quad\Longrightarrow\quad 2y-5=2(y-2)=2y-4,
o que leva a -5=-4, contradição. Portanto a fórmula nunca dá x=2. Logo, para todo y\neq2 existe um x no domínio que produz y.
  • E para y=2? Se tentarmos y=2 na equação inicial,
2=\frac{2x-5}{x-2},
temos 2x-5=2x-4, que é impossível. Logo não existe x que produza y=2.
Conclusão lógica: todos os reais são atingidos como valores de g, exceto 2.
Observação extra (útil para prova): a função tem assíntota horizontal y=2 (pois para x\to\pm\infty a razão dos coeficientes do termo de maior grau é 2/1=2) e essa assíntota não é atingida por nenhum ponto da função — por isso 2 fica fora da imagem. Também note que, resolvendo y em função de x e invertendo a relação obtivemos a mesma forma racional, o que mostra que g é sua própria inversa (isto é, g^{-1}=g), o que explica por que domínio e imagem coincidem como conjuntos.

Resposta

Domínio: \mathbb{R}\setminus\{2\}
Imagem: \mathbb{R}\setminus\{2\}

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