Um conjunto é formado por três elementos: 8, 10 e x . Determine os possíveis valores de x para os quais a variância desses elementos é igual a 263.

Passo 1

O enunciado nos dá um conjunto com três elementos: 8, 10 e x, e pede os valores de x tais que a variância populacional desse conjunto seja tfrac263. Para isso vamos usar a definição de variância populacional:
sigma^2 = 1nsumi=1^n(xi - mu)^2,
onde n=3 e mu é a média dos três valores.

Passo 2

Primeiro calculamos a média
mu = 8 + 10 + x3 = 18 + x3 = 6 + x3

Passo 3

Agora expressamos a variância e substituímos mu:
13l[(8-mu)^2 + (10-mu)^2 + (x-mu)^2r] = 263
Cada termo fica
8 - mu = 2 - x3, 10 - mu = 4 - x3, x - mu = x - l(6 + x3r) = 23(x - 9)
Quadrados e soma:
(2 - tfracx3)^2 = (x-6)^29, (4 - tfracx3)^2 = (x-12)^29, l(tfrac23(x-9)r)^2 = 4(x-9)^29,
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13,(x-6)^2 + (x-12)^2 + 4(x-9)^29 = 263

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados por 27 e obtemos
(x-6)^2 + (x-12)^2 + 4(x-9)^2 = 234
Expandindo:
6x^2 -108x +504 = 234 ;Longrightarrow; x^2 -18x +45 = 0
Essa equação tem discriminante De<a = 18^2 - 4cdot1cdot45 =144, levando às raízes
x = 18 pm 122 implies x = 15 ou x = 3

Resposta

x = 3 ou x = 15

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