Um radar fotográfico,instalado em uma rodovia na qual o limite de velocidade é 100 , registrou em uma semana x multas por excesso de velocidade, conforme a tabela:
Velocidade Número de ocorrências
34
41
35
22
18
a) Determine o valor de x.
b) Calcule a média, a classe modal, a mediana e o desvio padrão da velocidade em que estavam os veículos quando foram multados.
c) Se o valor das multas varia de acordo com a faixa de velocidade ultrapassada, começando por R$ 180,00 e aumentando sempre 20% em relação à faixa anterior, determine o valor médio das multas aplicadas.

Passo 1

O enunciado fornece uma distribuição de dados agrupados em classes de velocidade (em km/h) com suas respectivas frequências. Precisamos:
  • (a) o total de multas x.
  • (b) a média aritmética, a classe modal, a mediana (por interpolação) e o desvio-padrão das velocidades.
  • (c) o valor médio das multas, sabendo que a primeira faixa paga R$ 180,00 e cada faixa seguinte aumenta em 20% sobre a anterior.

Passo 2

Para (a), somamos as frequências:
x = sumi fi = 34 + 41 + 35 + 22 + 18 = 150

Passo 3

Para a média das velocidades, primeiro calculamos as marcas de classe mi e depois
barv=sumi fi,misumi fi
As marcas são
m1= 101+1082=104,5, m2=111,5, m3=118,5, m4=125,5, m5=132,5
O somatório sum fi mi = 17,418, logo
barv=17,418150approx116,12;km/h

Passo 4

A classe modal é a que tem maior frequência. Como f2=41 é a maior, a classe modal é
[108,,115];km/h

Passo 5

Para a mediana usamos interpolação na classe em que acumula tfracN2=75 observações. A segunda classe vai de 108 a 115,km/h, tem Fb=34 antes dela, frequência fm=41 e largura h=7. Então
tildev =108 + 75 - 3441cdot7 =108 + 1cdot7 =115;km/h

Passo 6

O desvio-padrão para dados agrupados é
sigma =raizsumi fi,mi^2N - barv^2
Calcula-se sumi fi,mi^2 =2,035,007,5. Assim
Var = 2,035,007,5150 - (116,12)^2 approx82,86, sigmaapproxraiz82,86approx9,10;km/h

Passo 7

Para (c), as multas por faixa são
M1=180,; M2=180cdot1,2=216,; M3=216cdot1,2=259,20,; M4=311,04,; M5=373,25
(arredondado a 2 casas). Calculamos
sumi fi,Mi =34cdot180 + 41cdot216 + 35cdot259,20 +22cdot311,04 +18cdot373,25 approx37,609,34
e o valor médio
M =37,609,34150approx250,06;reais

Resposta

(a) x=150.
(b) barvapprox116,12;km/h, classe modal [108,115];km/h, mediana 115;km/h, sigmaapprox9,10;km/h.
(c) valor médio das multas approx R$,250,06.

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