O conjunto das funções reais definidas em \mathbb{R}, com as operações usuais, é um espaço vetorial? Justifique.

Passo 1

O enunciado pergunta se o conjunto das funções reais definidas em \mathbb{R}, com as operações usuais, é um espaço vetorial. Informação dada:
  • O conjunto é V=\{\,f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\,\}, ou seja, todas as funções que têm domínio \mathbb{R} e imagem em \mathbb{R}.
  • As operações “usuais” são a adição ponto a ponto e a multiplicação por escalar ponto a ponto (essas operações serão explicitadas abaixo).
    O que se pede: decidir se V é um espaço vetorial sobre o corpo \mathbb{R} e justificar (mostrar que todas as propriedades/axiomas de espaço vetorial valem).

Passo 2

Definindo precisamente as operações (isto é importante para evitar ambiguidades):
  • Para f,g\in V define-se a soma f+g por
(f+g)(x)=f(x)+g(x)\quad\text{para todo }\;x\in\mathbb{R}.
  • Para \alpha\in\mathbb{R} e f\in V define-se o produto por escalar \alpha f por
(\alpha f)(x)=\alpha\cdot f(x)\quad\text{para todo }\;x\in\mathbb{R}.
Essas são as operações ponto a ponto (ou “operam valor a valor”).

Passo 3

Lembrando a definição: um conjunto V com operações + e \cdot é um espaço vetorial sobre \mathbb{R} se as seguintes propriedades (axiomas) são satisfeitas para todos f,g,h\in V e todos \alpha,\beta\in\mathbb{R}:
  1. (Fechamento aditivo) f+g\in V.
  2. (Associatividade da soma) (f+g)+h=f+(g+h).
  3. (Comutatividade da soma) f+g=g+f.
  4. (Existência do neutro aditivo) existe 0_V\in V tal que f+0_V=f.
  5. (Existência do inverso aditivo) para cada f existe -f\in V com f+(-f)=0_V.
  6. (Fechamento por escalares) \alpha f\in V.
  7. (Compatibilidade escalares) \alpha(\beta f)=(\alpha\beta)f.
  8. (Identidade escalar) 1\cdot f=f.
  9. (Distributividade escalar sobre soma de vetores) \alpha(f+g)=\alpha f+\alpha g.
  10. (Distributividade sobre soma de escalares) (\alpha+\beta)f=\alpha f+\beta f.
Vou verificar essas propriedades para V com as operações ponto a ponto.

Passo 4

Fechamento por soma e por escalar (itens 1 e 6).
  • Se f,g\in V então, por definição, f(x) e g(x) são números reais para todo x. Assim f(x)+g(x) é um real para todo x, logo (f+g) é uma função \mathbb{R}\to\mathbb{R}. Portanto f+g\in V.
  • Se \alpha\in\mathbb{R} e f\in V então \alpha f(x) é real para todo x, logo \alpha f\in V.
    Isto mostra fechamento nas duas operações.

Passo 5

Associatividade da soma (item 2).
Para todo x\in\mathbb{R} temos, usando associatividade da soma em \mathbb{R},
\bigl((f+g)+h\bigr)(x)=(f+g)(x)+h(x)=\bigl(f(x)+g(x)\bigr)+h(x)
e
\bigl(f+(g+h)\bigr)(x)=f(x)+(g+h)(x)=f(x)+\bigl(g(x)+h(x)\bigr).
Como a soma em \mathbb{R} é associativa, \bigl(f(x)+g(x)\bigr)+h(x)=f(x)+\bigl(g(x)+h(x)\bigr) para todo x. Portanto (f+g)+h=f+(g+h).

Passo 6

Comutatividade da soma (item 3).
Para todo x,
(f+g)(x)=f(x)+g(x)=g(x)+f(x)=(g+f)(x),
pois a soma em \mathbb{R} é comutativa. Logo f+g=g+f.

Passo 7

Existência do neutro aditivo (item 4).
Defina a função zero 0_V\in V por
0_V(x)=0\quad\text{para todo }\;x\in\mathbb{R},
onde o 0 do lado direito é o zero real. Então para todo f\in V e todo x,
(f+0_V)(x)=f(x)+0= f(x),
logo f+0_V=f. Assim 0_V é o elemento neutro aditivo.

Passo 8

Existência do inverso aditivo (item 5).
Para f\in V defina (-f)\in V por
(-f)(x)=-f(x)\quad\text{para todo }\;x\in\mathbb{R}.
Então (f+(-f))(x)=f(x)+(-f(x))=0 para todo x, isto é f+(-f)=0_V. Assim todo f tem inverso aditivo.

Passo 9

Distributividade escalar sobre soma de vetores (item 9).
Seja \alpha\in\mathbb{R} e f,g\in V. Para todo x,
\bigl(\alpha(f+g)\bigr)(x)=\alpha\cdot (f+g)(x)=\alpha\cdot\bigl(f(x)+g(x)\bigr).
Pela distributividade em \mathbb{R} isso é
\alpha f(x)+\alpha g(x)=(\alpha f + \alpha g)(x).
Logo \alpha(f+g)=\alpha f+\alpha g.

Passo 10

Distributividade sobre soma de escalares (item 10).
Sejam \alpha,\beta\in\mathbb{R} e f\in V. Para todo x,
\bigl((\alpha+\beta)f\bigr)(x)=(\alpha+\beta)f(x)=\alpha f(x)+\beta f(x)=(\alpha f+\beta f)(x).
Logo (\alpha+\beta)f=\alpha f+\beta f.

Passo 11

Compatibilidade de escalares e identidade escalar (itens 7 e 8).
  • Para \alpha,\beta\in\mathbb{R} e f\in V, para todo x,
\bigl(\alpha(\beta f)\bigr)(x)=\alpha\cdot(\beta f(x))=(\alpha\beta)f(x)=\bigl((\alpha\beta)f\bigr)(x).
Logo \alpha(\beta f)=(\alpha\beta)f.
  • Para o escalar 1\in\mathbb{R}, para todo x,
(1\cdot f)(x)=1\cdot f(x)=f(x),
logo 1\cdot f=f.

Passo 12

Resumo: verificamos fechamento, associatividade e comutatividade da soma, existência de neutro e inverso aditivo, fechamento por escalares, distributividades e compatibilidade de escalares, e presença do escalar unitário. Cada verificação usa apenas propriedades elementares da adição e multiplicação dos números reais aplicadas ponto a ponto. Portanto todos os axiomas de espaço vetorial sobre \mathbb{R} são satisfeitos por V com as operações definidas.

Passo 13

Comentário prático e exemplo para fixar (opcional, mas útil): se f(x)=x e g(x)=x^2, então
(f+g)(x)=x+x^2,\qquad (2f)(x)=2x.
Essas operações ficam “simples” porque operam valor a valor; isso é típico de espaços vetoriais de funções.

Resposta

Sim. O conjunto V=\{\,f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\,\}, com a soma (f+g)(x)=f(x)+g(x) e o produto por escalar (\alpha f)(x)=\alpha f(x), satisfaz todos os axiomas de espaço vetorial sobre \mathbb{R}, portanto é um espaço vetorial.

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