O conjunto das funções reais definidas em
, com as operações usuais, é um espaço vetorial? Justifique.
Passo 1
O enunciado pergunta se o conjunto das funções reais definidas em
, com as operações usuais, é um espaço vetorial. Informação dada:
- O conjunto é
, ou seja, todas as funções que têm domínio e imagem em . - As operações “usuais” são a adição ponto a ponto e a multiplicação por escalar ponto a ponto (essas operações serão explicitadas abaixo).
O que se pede: decidir seé um espaço vetorial sobre o corpo e justificar (mostrar que todas as propriedades/axiomas de espaço vetorial valem).
Passo 2
Definindo precisamente as operações (isto é importante para evitar ambiguidades):
- Para
define-se a soma por
- Para
e define-se o produto por escalar por
Essas são as operações ponto a ponto (ou “operam valor a valor”).
Passo 3
Lembrando a definição: um conjunto
com operações
e
é um espaço vetorial sobre
se as seguintes propriedades (axiomas) são satisfeitas para todos
e todos
:
- (Fechamento aditivo)
. - (Associatividade da soma)
. - (Comutatividade da soma)
. - (Existência do neutro aditivo) existe
tal que . - (Existência do inverso aditivo) para cada
existe com . - (Fechamento por escalares)
. - (Compatibilidade escalares)
. - (Identidade escalar)
. - (Distributividade escalar sobre soma de vetores)
. - (Distributividade sobre soma de escalares)
.
Vou verificar essas propriedades para
com as operações ponto a ponto.
Passo 4
Fechamento por soma e por escalar (itens 1 e 6).
- Se
então, por definição, e são números reais para todo . Assim é um real para todo , logo é uma função . Portanto . - Se
e então é real para todo , logo .
Isto mostra fechamento nas duas operações.
Passo 5
Associatividade da soma (item 2).
Para todo temos, usando associatividade da soma em
,
Para todo
e
Como a soma em
é associativa,
para todo
. Portanto
.
Passo 6
Comutatividade da soma (item 3).
Para todo ,
Para todo
pois a soma em
é comutativa. Logo
.
Passo 7
Existência do neutro aditivo (item 4).
Defina a função zero por
Defina a função zero
onde o
do lado direito é o zero real. Então para todo
e todo
,
logo
. Assim
é o elemento neutro aditivo.
Passo 8
Existência do inverso aditivo (item 5).
Para defina
por
Para
Então
para todo
, isto é
. Assim todo
tem inverso aditivo.
Passo 9
Distributividade escalar sobre soma de vetores (item 9).
Seja e
. Para todo
,
Seja
Pela distributividade em
isso é
Logo
.
Passo 10
Distributividade sobre soma de escalares (item 10).
Sejam e
. Para todo
,
Sejam
Logo
.
Passo 11
Compatibilidade de escalares e identidade escalar (itens 7 e 8).
- Para
e , para todo ,
Logo
.
- Para o escalar
, para todo ,
logo
.
Passo 12
Resumo: verificamos fechamento, associatividade e comutatividade da soma, existência de neutro e inverso aditivo, fechamento por escalares, distributividades e compatibilidade de escalares, e presença do escalar unitário. Cada verificação usa apenas propriedades elementares da adição e multiplicação dos números reais aplicadas ponto a ponto. Portanto todos os axiomas de espaço vetorial sobre
são satisfeitos por
com as operações definidas.
Passo 13
Comentário prático e exemplo para fixar (opcional, mas útil): se
e
, então
Essas operações ficam “simples” porque operam valor a valor; isso é típico de espaços vetoriais de funções.
Resposta
Sim. O conjunto
, com a soma
e o produto por escalar
, satisfaz todos os axiomas de espaço vetorial sobre
, portanto é um espaço vetorial.