O subespaço é o conjunto de todos os vetores (x,y,z) de \mathbb{R}^3 que satisfazem a equação \,x+y+z=0.
O que se pede:
Encontrar um conjunto de vetores que seja uma base de W, ou seja, um conjunto de vetores que (i) gere W (span) e (ii) seja linearmente independente.
Passo 2
Vamos reescrever a condição \,x+y+z=0 de forma que possamos ver os graus de liberdade. Isolando x em função de y e z temos:
x = -y - z.
Assim um vetor qualquer de W pode ser escrito como
(x,y,z) = (-y-z,\,y,\,z).
Passo 3
Agora vamos escrever (x,y,z) como combinação linear dos parâmetros y e z. Fatorando por y e z:
(-y-z,\,y,\,z) = y(-1,\,1,\,0) + z(-1,\,0,\,1).
Isso mostra que todo vetor de W é uma combinação linear dos vetores (-1,1,0) e (-1,0,1).
Passo 4
Interpretação do passo anterior:
Os vetores (-1,1,0) e (-1,0,1) geram W. Em notação,
W = \operatorname{span}\{(-1,1,0),\,(-1,0,1)\}.
Também é simples verificar que ambos realmente pertencem a W, pois para cada um a soma das coordenadas é zero:
-1+1+0=0,\qquad -1+0+1=0.
Passo 5
Agora precisamos checar se os dois vetores são linearmente independentes. Considere uma combinação linear que dê o vetor nulo:
a(-1,1,0) + b(-1,0,1) = (0,0,0).
Escrevendo coordenada a coordenada obtemos o sistema
\begin{cases} -a - b = 0,\\[4pt] a + 0\cdot b = 0,\\[4pt] 0\cdot a + b = 0. \end{cases}
Da segunda equação vem a=0. Da terceira vem b=0. Assim da primeira também temos 0=0. Portanto a=b=0 é a única solução, o que prova que os dois vetores são linearmente independentes.]
Passo 6
Como os vetores (-1,1,0) e (-1,0,1) geram W e são linearmente independentes, eles formam uma base de W. Observação: qualquer outro par de vetores equivalentes por combinação linear invertível também seria uma base (por exemplo (1,-1,0) e (1,0,-1) também funcionam). A dimensão de W é 2.