Os vetores
(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)
formam uma base de \mathbb{R}^{3} ? Justifique.

Passo 1

O enunciado dá três vetores em \mathbb{R}^3:
v_1=(1,1,0),\qquad v_2=(1,0,1),\qquad v_3=(0,1,1).
A pergunta é: esses vetores formam uma base de \mathbb{R}^3? Ou seja, preciso decidir se eles satisfazem as condições de base e justificar.

Passo 2

Relembrando (com calma): uma coleção de três vetores em \mathbb{R}^3 forma uma base se, e somente se, eles forem linearmente independentes (então automaticamente geram \mathbb{R}^3).
  • Linearmente independentes significa que a única solução do sistema
\alpha v_1+\beta v_2+\gamma v_3=0
é \alpha=\beta=\gamma=0.
  • Uma forma prática de testar independência para três vetores é montar a matriz cujas colunas são esses vetores e calcular o determinante: se o determinante for diferente de zero, as colunas são linearmente independentes e, por consequência, formam uma base de \mathbb{R}^3.

Passo 3

Vou usar o teste do determinante porque é direto e eficiente. Monto a matriz A cujas colunas são v_1,v_2,v_3:
A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\[4pt] 1 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}.
Explicando: cada coluna é um dos vetores originais, e calcular \det(A) nos diz se essas colunas são independentes.]

Passo 4

Calculo o determinante de A expandindo pela primeira linha (fórmula de Laplace para 3×3):
\det(A)=1\cdot\det\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix} -1\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix} +0\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}.
Agora calculo os menores:
\det\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix}=0\cdot1-1\cdot1=-1, \qquad \det\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}=1\cdot1-1\cdot0=1.
Substituindo:
\det(A)=1\cdot(-1)-1\cdot(1)+0\cdot(\cdots)=-1-1+0=-2.
Como \det(A)=-2\neq 0, concluímos que as colunas de A (ou seja, v_1,v_2,v_3) são linearmente independentes.]

Passo 5

Para reforçar a intuição: resolver a combinação linear nula dá o mesmo resultado. Escrevendo
\alpha(1,1,0)+\beta(1,0,1)+\gamma(0,1,1)=(0,0,0)
produz o sistema de equações (componentes):
\begin{cases} \alpha+\beta=0,\\[4pt] \alpha+\gamma=0,\\[4pt] \beta+\gamma=0. \end{cases}
Da primeira \alpha=-\beta. Substituindo na segunda: -\beta+\gamma=0\Rightarrow\gamma=\beta. Da terceira: \beta+\gamma=0\Rightarrow\beta+\beta=0\Rightarrow 2\beta=0\Rightarrow\beta=0. Assim \beta=0\Rightarrow\alpha=0 e \gamma=0. Só a solução trivial aparece — confirma independência.]

Passo 6

Conclusão final: como os três vetores são linearmente independentes em \mathbb{R}^3, eles formam uma base de \mathbb{R}^3. Força aí — é só lembrar: determinante não nulo = base!

Resposta

Sim. Formam uma base de \mathbb{R}^{3}.

Exercícios relacionados