A pergunta é: esses vetores formam uma base de \mathbb{R}^3? Ou seja, preciso decidir se eles satisfazem as condições de base e justificar.
Passo 2
Relembrando (com calma): uma coleção de três vetores em \mathbb{R}^3 forma uma base se, e somente se, eles forem linearmente independentes (então automaticamente geram \mathbb{R}^3).
Linearmente independentes significa que a única solução do sistema
\alpha v_1+\beta v_2+\gamma v_3=0
é \alpha=\beta=\gamma=0.
Uma forma prática de testar independência para três vetores é montar a matriz cujas colunas são esses vetores e calcular o determinante: se o determinante for diferente de zero, as colunas são linearmente independentes e, por consequência, formam uma base de \mathbb{R}^3.
Passo 3
Vou usar o teste do determinante porque é direto e eficiente. Monto a matriz A cujas colunas são v_1,v_2,v_3:
Da primeira \alpha=-\beta. Substituindo na segunda: -\beta+\gamma=0\Rightarrow\gamma=\beta. Da terceira: \beta+\gamma=0\Rightarrow\beta+\beta=0\Rightarrow 2\beta=0\Rightarrow\beta=0. Assim \beta=0\Rightarrow\alpha=0 e \gamma=0. Só a solução trivial aparece — confirma independência.]
Passo 6
Conclusão final: como os três vetores são linearmente independentes em \mathbb{R}^3, eles formam uma base de \mathbb{R}^3. Força aí — é só lembrar: determinante não nulo = base!