Q2: Em cada opção abaixo, há dois sistemas lineares nas variáveis x, y e z. Em que opção os conjuntos-solução de ambos os sistemas têm dimensão 1 , isto é, são retas em \mathbb{R}^{3} ?
(A) \left\{\begin{array}{r}2 x+5 y+7 z=6, \\\\ -10 x-25 y-35 z=-30, \\\\ 3 x+4 z=8 .\end{array}\right. \left\{\begin{array}{r}6 x+15 y+21 z=18, \\\\ -20 x-40 y=-45 .\end{array}\right.
(B) \left\{\begin{aligned}-12 x-16 z & =-32, \\\\ -9 x-12 z & =-24 .\end{aligned}\right. \left\{\begin{array}{r}6 x+7 y+2 z=5, \\\\ 4 x+8 y=9, \\\\ 20 x+40 y=45 .\end{array}\right.
(C) \left\{\begin{aligned} 2 x+5 y+7 z & =6, \\\\ 3 x+4 z & =8, \\\ x & =9 .\end{aligned}\right. \left\{\begin{aligned} 10 x+25 y+35 z & =30, \\\\ 16 x+32 y & =36 .\end{aligned}\right.
(D) \left\{\begin{array}{r}-10 x-25 y-35 z=-30 \text {, } \\\\ 12 x+24 y=27 \text {. }\end{array}\right. \left\{\begin{aligned} 30 x+35 y+10 z & =25, \\\\ 24 x+28 y+8 z & =20 .\end{aligned}\right.
(E) \left\{\begin{aligned} 6 x+3 y+4 z & =7, \\\\ 7 y+5 z & =3, \\\\ 21 y+15 z & =9 .\end{aligned}\right. \left\{\begin{array}{r}-10 x-25 y-35 z=-30, \\\\ 9 x+12 z=24, \\\ x=9 .\end{array}\right.
(F) \left\{\begin{array}{r}-30 x-15 y-20 z=-35, \\\\ 21 y+15 z=9 .\end{array}\right. \left\{\begin{aligned} 10 x+25 y+35 z & =30, \\\\ 8 x+20 y+28 z & =24 .\end{aligned}\right.
Passo 1
O que o exercício pede: entre as opções (A)–(F), cada opção contém dois sistemas lineares em [x,y,z). A pergunta é: em que opção os conjuntos-solução de ambos os sistemas têm dimensão 1 (ou seja, são retas em \mathbb{R}^{3})?
Informações relevantes dadas (resumo dos sistemas por opção):
(A) Primeiro sistema: (\begin{cases}2x+5y+7z=6,\\\ -10x-25y-35z=-30,\\\ 3x+4z=8.\end{cases}]
Segundo sistema: \begin{cases}6x+15y+21z=18,\\\ -20x-40y=-45.\end{cases}
O que é preciso verificar em cada sistema: para que o conjunto solução seja uma reta em \mathbb{R}^3 (dimensão 1), é necessário e suficiente que o sistema seja consistente e que a matriz dos coeficientes tenha posto (rank) igual a 2. Vou testar consistência e posto de cada sistema.
Passo 2
Ferramenta / ideia que vou usar (explicação didática curta):
Temos 3 incógnitas (x,y,z).
Para um sistema linear A\mathbf{x}=\mathbf{b}, se o sistema for consistente e \operatorname{rank}(A)=r, então o espaço de soluções tem dimensão 3-r.
Assim, para obter dimensão 1 precisamos de \operatorname{rank}(A)=2 e que o sistema seja consistente (isto é, a equação não tenha contradição).
Na prática, é fácil detectar o posto e a consistência olhando se algumas equações são múltiplos umas das outras (dependência linear) ou se há contradição óbvia. Duas equações independentes em \mathbb{R}^3 normalmente definem duas planos que se intersectam numa reta (consistência típica); três equações dependentes entre si podem reduzir o posto.
Agora vou analisar cada sistema, um por um, verificando dependências lineares e consistência.
Observação de dependência: a segunda equação é -5 vezes a primeira, pois
-5\cdot(2x+5y+7z)= -10x-25y-35z
e
-5\cdot 6 = -30.
Logo a segunda é redundante. Restam essencialmente as equações
2x+5y+7z=6,\qquad 3x+4z=8.
Os vetores de coeficientes (2,5,7) e (3,0,4) não são múltiplos escalares, então são linearmente independentes. Portanto \operatorname{rank}(A)=2. O sistema é consistente (a segunda original é apenas múltiplo da primeira), assim a solução tem dimensão 3-2=1. Conclusão: primeiro sistema de (A) dá uma reta.
Verifico independencia dos dois vetores de coeficientes (6,15,21) e (-20,-40,0). Eles não são múltiplos (porque -20/6\neq -40/15), então \operatorname{rank}(A)=2. Agora verificar consistência: duas equações lineares independentes em \mathbb{R}^3 normalmente se intersectam numa reta, mas confirmo encontrando uma relação simples: da segunda equação
-20x-40y=-45 \quad\Rightarrow\quad 4x+8y=9.
Usando 4x+8y=9 e 6x+15y+21z=18 dá, substituindo x em termos de y (ou isolando y em função de z) uma família de soluções — não há contradição numérica. Por exemplo isolando x da segunda: x=(9-8y)/4; ao substituir na primeira obtém-se uma equação do tipo y+7z= constante, que admite soluções. Portanto consistente e \operatorname{rank}(A)=2 → solução é uma reta. Conclusão: segundo sistema de (A) também dá uma reta.
Passo 5
Conclusão para (A): ambos os sistemas têm posto 2 e são consistentes, logo ambos têm conjunto-solução de dimensão 1. A opção (A) é candidata correta.
Portanto a primeira é \tfrac{4}{3} vezes a segunda; as duas são dependentes. Logo \operatorname{rank}(A)=1. Como há variável y ausente, o sistema (se consistente) terá dimensão 3-1=2. Assim o conjunto-solução não é uma reta. (B) já falha aqui.
Note que a terceira equação é 5 vezes a primeira? Não: 20x+40y comparado com 4x+8y é 5 vezes, mas o lado direito 45 não é 5\cdot 9=45 — wait, actually 5\cdot 9=45. Então a terceira equação é exatamente 5 vezes a segunda:
5\cdot(4x+8y)=20x+40y,\qquad 5\cdot 9=45.
Logo a terceira é dependente da segunda. Entre as equações remanescentes, existem duas não proporcionais ((6,7,2) e (4,8,0) tipicamente independentes), então posto pode ser 2; mas já que o primeiro sistema da opção (B) deu dimensão 2, a opção (B) não satisfaz o requisito de que ambos sejam retas. Portanto (B) não é a resposta.
A equação x=9 fixa x. Substituindo x=9 em 3x+4z=8 dá 27+4z=8\Rightarrow z=-19/4. Substituindo x e z na primeira dá y único. Assim o sistema tem solução única (posto 3), dimensão 0, não é reta. Logo (C) falha.
Passo 9
Análise da opção (C), segundo sistema (só por completude):
Aqui os dois vetores de coeficientes (10,25,35) e (16,32,0) são independentes (não múltiplos), pelo que \operatorname{rank}(A)=2 e o conjunto solução seria uma reta (se consistente). Mas como o primeiro sistema da opção (C) já não é uma reta, a opção (C) não é a resposta.
Os vetores (-10,-25,-35) e (12,24,0) não são múltiplos; portanto \operatorname{rank}(A)=2. Sistemas de duas equações independentes em \mathbb{R}^3 normalmente são consistentes (interseção de dois planos é reta) a menos que haja contradição explícita — aqui não há contradição aparente. Assim o primeiro sistema tem solução de dimensão 1.
Vejo que a terceira equação é 3 vezes a segunda: 3\cdot(7y+5z)=21y+15z e 3\cdot 3=9. Logo a terceira é dependente da segunda. As duas equações independentes remanescentes são (6,3,4) e (0,7,5), que não são múltiplos, então \operatorname{rank}(A)=2. O sistema é consistente (sem contradição), logo o conjunto-solução tem dimensão 1. Então o primeiro sistema de (E) é uma reta.
A equação x=9 fixa x. Substituindo x=9 em 9x+12z=24 dá 81+12z=24\Rightarrow z=-19/4. Substituindo x e z na primeira equação determina y único. Ou seja, sistema consistente com solução única (posto 3), dimensão 0. Logo (E) falha pois o segundo sistema não é reta.
Os vetores (-30,-15,-20) e (0,21,15) não são múltiplos, logo \operatorname{rank}(A)=2. Não há contradição aparente; portanto o sistema é consistente e tem solução de dimensão 1 (reta).
Verifico se há múltiplos: (8,20,28)=0{,}8\,(10,25,35) e 24=0{,}8\cdot 30. Assim a segunda equação é 0{,}8 vezes a primeira; são dependentes. Portanto \operatorname{rank}(A)=1 e o conjunto-solução tem dimensão 2, não é reta. Logo (F) falha.
Passo 16
Resumo das conclusões:
(A): ambos os sistemas têm \operatorname{rank}(A)=2 e são consistentes → ambos têm conjunto-solução de dimensão 1. (Correta.)
(B): primeiro sistema tem posto 1 → não.
(C): primeiro sistema tem solução única (posto 3) → não.
(D): segundo sistema tem posto 1 → não.
(E): segundo sistema tem solução única (posto 3) → não.
(F): segundo sistema tem posto 1 → não.
Portanto a única opção em que ambos os sistemas têm conjuntos-solução de dimensão 1 é a opção (A).